Question

如图所示，已知正方形OABC的面积为9，点B在函数y=

k

x

(k＞0，x＞0)的图象上，点P（m，n）（6≤m≤9）是函数y=

k

x

(k＞0，x＞0)的图象上动点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，若设矩形OEPF和正方形OABC不重合的两部分的面积和为S．
（1）求B点坐标和k的值；
（2）写出S关于m的函数关系和S的最大值．

Answer 1

分析：（1）由四边形OABC为正方形，面积为9，求出正方形的边长为3，得到AB与OA为3，由B在第一象限确定出B的坐标，将B坐标代入反比例解析式中，即可求出k的值；
（2）由P的坐标，表示PE与OE，由OE-OA表示出AE的长，矩形OEPF和正方形OABC不重合的两部分为矩形，面积为PE与AE乘积，再由P在反比例函数图象上，将P坐标代入反比例解析式，用m表示出n，列出S关于m的函数关系式，由m的范围，得出反比例函数p=

27

m

为减函数，可得出S为关于m的增函数，将m的最大值9代入，即可求出S的最大值．

解答：解：（1）∵正方形OABC的面积为9，
∴正方形OABC的边长为3，即OA=3，AB=3，
∴B点坐标为（3，3）；
又∵点B是函数

k

x

的图象上的一点，
∴3=

k

3

，
∴k=9；
（2）由6≤m≤9，得到点P在点B的右侧，则PE=n，AE=m-3，
∴S=PE•AE+CF•BC=n（m-3）+3（3-n）=

9

m

（m-3）+9-3n=18-3n-

27

m

，
当6≤m≤9时，反比例函数p=

27

m

为减函数，S为关于m的增函数，
∴当m=9时，S取得最大值，此时最大值为18-3-

27

9

=15-3=12．

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，反比例函数的图象与性质，待定系数法确定函数解析式，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．