Question

（1）如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则有相等关系DE=DF，AE=AF．
（2）如图2，在（1）的情况下，如果∠MDN=∠EDF，∠MDN的两边分别与AB、AC相交于M、N两点，其它条件不变，那么又有相等关系AM+

 

=2AF，请加以证明．
（3）如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AC=6，AD平分∠BAC交BC于D，∠MDN=120°，ND∥AB，求四边形AMDN的周长．

Answer 1

考点：角平分线的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD，然后利用“角角边”证明△ADE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）由（1）得DE=DF，再求出∠MDE=∠NDF，然后利用“角边角”证明△MDE和△NDF全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=NF，然后求AM+AN=AE+AF，再求解即可；
（3）根据（2）求出AM+AN=2AC，根据角平分线的定义求出∠BAD=∠CAD=30°，根据两直线平行，内错角相等可得∠ADN=∠BAD=30°，从而得到∠CAD=∠ADN，再根据等角对等边可得AN=DN，根据直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半可得DN=2CN，然后求出DN，

解答：（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在△ADE和△ADF中，

∠BAD=∠CAD ∠AED=∠AFD=90° AD=AD

，
∴△ADE≌△ADF（AAS），
∴DE=DF，AE=AF；

（2）解：AM+AN=2AF；
证明如下：由（1）得DE=DF，
∵∠MDN=∠EDF，
∴∠MDE=∠NDF，
在△MDE和△NDF中，

∠MDE=∠NDF DE=DF ∠DEM=∠DFN=90°

，
∴△MDE≌△NDF（ASA），
∴ME=NF，
∴AM+AN=（AE+ME）+（AF-NF）=AE+AF=2AF；

（3）由（2）可知AM+AN=2AC=2×6=12，
∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC交BC于D，
∴∠BAD=∠CAD=30°，
∵ND∥AB，
∴∠ADN=∠BAD=30°，
∴∠CAD=∠ADN，
∴AN=DN，
在Rt△CDN中，DN=2CN，
∵AC=6，
∴DN=AN=

2

1+2

×6=4，
∵∠BAC=60°，∠MDN=120°，
∴∠CDE=∠MDN，
∴DM=DN=4，
∴四边形AMDN的周长=12+4×2=20．

点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质的证明，全等三角形的判定与性质，直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质并准确识图，理解题意找出全等三角形是解题的关键．