Question

2．如图，二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为-1和3，则下列结论正确的是（　　）

• A． 2a-b=0
• B． a+b+c＞0
• C． 3a-c=0
• D． 当a=$\frac{1}{2}$时，△ABD是等腰直角三角形

Answer 1

分析 由于抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为-1，3，得到对称轴为直线x=1，则-$\frac{b}{2a}$=1，即2a+b=0，得出，选项A错误；
当x=1时，y＜0，得出a+b+c＜0，得出选项B错误；
当x=-1时，y=0，即a-b+c=0，而b=-2a，可得到a与c的关系，得出选项C错误；
由a=$\frac{1}{2}$，则b=-1，c=-$\frac{3}{2}$，对称轴x=1与x轴的交点为E，先求出顶点D的坐标，由三角形边的关系得出△ADE和△BDE都为等腰直角三角形，得出选项D正确；即可得出结论．

解答 解：∵抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为-1，3，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，则-$\frac{b}{2a}$=1，
∴2a+b=0，
∴选项A错误；
∴当自变量取1时，对应的函数图象在x轴下方，
∴x=1时，y＜0，则a+b+c＜0，
∴选项B错误；
∵A点坐标为（-1，0），
∴a-b+c=0，而b=-2a，
∴a+2a+c=0，
∴3a+c=0，
∴选项C错误；
当a=$\frac{1}{2}$，则b=-1，c=-$\frac{3}{2}$，对称轴x=1与x轴的交点为E，如图，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$，
把x=1代入得y=$\frac{1}{2}$-1-$\frac{3}{2}$=-2，
∴D点坐标为（1，-2），
∴AE=2，BE=2，DE=2，
∴△ADE和△BDE都为等腰直角三角形，
∴△ADB为等腰直角三角形，
∴选项D正确．
故选D．

点评 本题考查了二次函数y=ax²+bx+c的图象与系数的关系：当a＞0，抛物线开口向上；抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．