Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c关于y轴对称，它的顶点在坐标原点O，点B（2，﹣）和点C（﹣3，﹣3）两点均在抛物线上，点F（0，﹣）在y轴上，过点（0，）作直线l与x轴平行．

（1）求抛物线的解析式和线段BC的解析式．

（2）设点D（x，y）是线段BC上的一个动点（点D不与B，C重合），过点D作x轴的垂线，与抛物线交于点G．设线段GD的长度为h，求h与x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，线段GD的长度h最大，最大长度h的值是多少？

（3）若点P（m，n）是抛物线上位于第三象限的一个动点，连接PF并延长，交抛物线于另一点Q，过点Q作QS⊥l，垂足为点S，过点P作PN⊥l，垂足为点N，试判断△FNS的形状，并说明理由；

（4）若点A（﹣2，t）在线段BC上，点M为抛物线上的一个动点，连接AF，当点M在何位置时，MF+MA的值最小，请直接写出此时点M的坐标与MF+MA的最小值．

Answer 1

解答：

解：（1）如图1， ∵抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称，它的顶点在坐标原点O， ∴抛物线解析式为y=ax2． ∵点C（﹣3，﹣3）在抛物线y=ax2上， ∴.9a=﹣3． ∴a=﹣． ∴抛物线的解析式为y=﹣x2． 设直线BC的解析式为y=mx+n． ∵B（2，﹣）、C（﹣3，﹣3）在直线y=mx+n上， ∴． 解得：． ∴直线BC的解析式为y=x﹣2． （2）如图2， ∵点D（x，y）是线段BC上的一个动点（点D不与B，C重合）， ∴yD=x﹣2，且﹣3＜x＜2． ∵DG⊥x轴， ∴xG=xD=x． ∵点G在抛物线y=﹣x2上， ∴yG=﹣x2． ∴h=DG=yG﹣yD =﹣x2﹣（x﹣2） =﹣x2﹣x+2 =﹣（x2+x）+2 =﹣（x2+x+﹣）+2 =﹣（x+）2++2 =﹣（x+）2+． ∵﹣＜0，﹣3＜﹣＜2， ∴当x=﹣时，h取到最大值，最大值为． ∴h与x之间的函数关系式为h=﹣（x+）2+，其中﹣3＜x＜2； 当x=﹣时，线段GD的长度h最大，最大长度h的值是． （3）△FNS是直角三角形． 证明：过点F作FT⊥PN，垂足为T，如图3， ∵点P（m，n）是抛物线y=﹣x2上位于第三象限的一个动点， ∴n=﹣m2．m＜0，n＜0． ∴m2=﹣3n． 在Rt△PTF中， ∵PT=﹣﹣n，FT=﹣m， ∴PF= = = = =﹣n． ∵PN⊥l，且l是过点（0，）平行于x轴的直线， ∴PN=﹣n． ∴PF=PN． ∴∠PNF=∠PFN． ∵PN⊥l，OF⊥l， ∴PN∥OF． ∴∠PNF=∠OFN． ∴∠PFN=∠OFN． 同理可得：∠QFS=∠OFS． ∵∠PFN+∠OFN+∠OFS+∠QFS=180°， ∴2∠OFN+2∠OFS=180°． ∴∠OFN+∠OFS=90°． ∴∠NFS=90°． ∴△NFS是直角三角形． （4）过点M作MH⊥l，垂足为H，如图4， 在（3）中已证到PF=PN，由此可得：抛物线y=﹣x2上的点到点F（0，﹣）的距离与到直线y=的距离相等． ∴MF=MH． ∴MA+MF=MA+MH． 由两点之间线段最短可得： 当A、M、H三点共线（即AM⊥l）时，MA+MH（即MA+MF）最小，等于AH． 即xM=xA=﹣2时，MA+MF取到最小值． 此时，yM=﹣×（﹣2）2=﹣，点M的坐标为（﹣2，﹣）； yA=×（﹣2）﹣2=﹣，点A的坐标为（﹣2，﹣）； MF+MA的最小值=AH=﹣（﹣）=． ∴当点M的坐标为（﹣2，﹣）时，MF+MA的值最小，最小值为．