Question

如图所示，已知⊙O的直径AB=1，延长AB到C，使BC=AB，过C作⊙O的切线CD，D为切点，连接AD、BD．求：
（1）CD的长；
（2）AD：BD的值；
（3）△ABD的面积．

Answer 1

分析：（1）连结OD，根据切线的性质得OD⊥DC，由于BC=AB=1得到OD=

1

2

，OC=

3

2

，然后根据勾股定理可计算出DC=

2

；
（2）由AB为直径得到∠ADB=90°，则∠A+∠OBD=90°，又∠CDB+∠ODB=90°，而∠ODB=∠OBD，可得到∠CDB=∠A，根据三角形相似的判定方法得到△CDB∽△CAD，则DB：DA=CD：CA=

2

：2，即可得到AD：BD的值；
（3）利用AD：BD的值可设DB=x，则AD=

2

x，在Rt△ADB中，利用勾股定理得到（

2

x）²+x²=1，解得x=

3

3

，则DB=

3

3

，AD=

6

3

，然后根据三角形面积公式可计算出△ABD的面积．

解答：解：（1）连结OD，如图，
∵CD为⊙O的切线，
∴OD⊥DC，
∵BC=AB=1，
∴OD=

1

2

，OC=

3

2

，
在Rt△ODC中，DC=

OC2-OD2

=

( 3 2 )2-( 1 2 )2

=

2

；

（2）∵∠CDB+∠ODB=90°，
而∠ODB=∠OBD，
∴∠CDB+∠OBD=90°，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠OBD=90°，
∴∠CDB=∠A，
而∠C公共，
∴△CDB∽△CAD，
∴DB：DA=CD：CA=

2

：2，
∴AD：BD=2：

2

=

2

：1；

（3）设DB=x，则AD=

2

x，
在Rt△ADB中，AB=1，
∵AD²+DB²=AB²，
∴（

2

x）²+x²=1，
解得x=

3

3

，
∴DB=

3

3

，AD=

6

3

，
∴△ABD的面积=

1

2

×DB×AD=

1

2

×

3

3

×

6

3

=

2

6

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理．