Question

【题目】从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．

如图①，在中，为角平分线，，，求证：是的完美分割线；

如图②，在中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，求完美分割线的长．

Answer 1

【答案】见解析；．

【解析】

（1）根据三角形内角和定理求出∠ACB=80°，根据角平分线的定义得到∠ACD=40°，证明△BCD∽△BAC，证明结论；
（2）根据△BCD∽△BAC，得到，设BD=x，解方程求出x，根据相似三角形的性质定理列式计算即可．

∵，，

∴，

∴不是等腰三角形，

∵平分，

∴，

∴，

∴是等腰三角形，

∵，

∴，

∴是的完美分割线；

∵，

∴，

∵，，

设，则，

∴，

解得，

∵，∴，

∵，

∴，

∵，，

∴．