Question

【题目】如图⊙O的直径AB＝10cm，弦BC＝6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，交AB于E，P是AB延长线上一点，且PC＝PE．

(l)求证：PC是⊙O的切线；

(2)求AC、AD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AC＝8cm，AD＝5cm

【解析】

（1）连结OC，由PC＝PE得∠PCE＝∠PEC，利用三角形外角性质得∠PEC＝∠EAC+∠ACE＝∠EAC+45°，加上∠CAB＝90°﹣∠ABC，∠ABC＝∠OCB，于是可得到∠PCE＝90°﹣∠OCB+45°＝90°﹣（∠OCE+45°）+45°，则∠OCE+∠PCE＝90°，于是根据切线的判定定理可得PC为⊙O的切线；

（2）连结BD，如图，根据圆周角定理由AB为直径得∠ACB＝90°，则可利用勾股定理计算出AC＝8；由DC平分∠ACB得∠ACD＝∠BCD＝45°，根据圆周角定理得∠DAB＝∠DBA＝45°，则△ADB为等腰直角三角形，由勾股定理即可得出AD的长．

（1）证明：连结OC，如图所示：

∵PC＝PE，

∴∠PCE＝∠PEC，

∵∠PEC＝∠EAC+∠ACE＝∠EAC+45°，

而∠CAB＝90°﹣∠ABC，∠ABC＝∠OCB，

∴∠PCE＝90°﹣∠OCB+45°＝90°﹣（∠OCE+45°）+45°，

∴∠OCE+∠PCE＝90°，

即∠PCO＝90°，

∴OC⊥PC，

∴PC为⊙O的切线；

（2）连结BD，如图所示，

∵AB为直径，

∴∠ACB＝90°，

在Rt△ACB中，AB＝10cm，BC＝6cm，

∴AC＝＝8（cm）；

∵DC平分∠ACB，

∴∠ACD＝∠BCD＝45°，

∴∠DAB＝∠DBA＝45°

∴△ADB为等腰直角三角形，

∴（cm）．