题目内容

观察下列各式及验证过程：
1
2
(
1
3
-
1
4
)
=
1
3
3
8
验证：
1
2
(
1
3
-
1
4
)
=
1
2×3×4
=
3
2×32×4
=
1
3
3
8
；
1
3
(
1
4
-
1
5
)
=
1
4
4
15
验证：
1
3
(
1
4
-
1
5
)
=
1
3×4×5
=
4
3×42×5
=
1
4
4
15
；
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想
1
4
(
1
5
-
1
6
)
的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于等于2的整数）表示的等式，并进行验证．
分析：（1）题的关键是找规律，从快给的式子中找出各数之间的关系．仔细观察我们会发现左边根号里是一个分数和一个分式的乘积．而且结果是分式中被减数倍的根号分数和分式中减数的分母的积作分母，分子是根号外的分数的分母．
（2）利用（1）的关系再列出第二问中的关系式即可．
解答：解：（1）
1
4
(
1
5
-
1
6
)
=
1
5
5
24

验证：左边=
1
4×5×6
=
5
4×52×6
=
1
5
5
24
=右边，故正确；

（2）
1
n
(
1
n+1
-
1
n+2
)
=
1
n+1
n+1
n(n+2)

验证：左边=
n+1
n(n+1)(n+2)
=
n+1
n(n+1)2(n+2)
=
1
n+1
n+1
n(n+2)
=右边
故正确．
点评：本题主要考查了实数的运算，解题关键是发现规律，理清式子中各数之间的关系．
练习册系列答案
相关题目
探索规律
观察下列各式及验证过程：n=2时有式①：2×
2
3
=
2+
2
3
n=3时有式②：3×
3
8
=
3+
3
8

式①验证：2×
2
3
=
23
3
=
(23-2)+2
22-1
=
2(22-1)+2
22-1
=
2+
2
3

式②验证：3×
3
8
=
33
8
=
(33-3)+3
32-1
=
3(32-1)+3
32-1
=
3+
3
8

（1）针对上述式①、式②的规律，请写出n=4时的式子；
（2）请写出满足上述规律的用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并加以验证．
观察下列各式及验证过程：
1
2
-
1
3
=
1
2
2
3
，验证
1
2
-
1
3
=
1
2×3
=
2
22×3
=
1
2
2
3
；
1
2
(
1
3
-
1
4
)
=
1
3
3
8
，验证
1
2
(
1
3
-
1
4
)
=
1
2×3×4
=
3
2×32×4
=
1
3
3
8
1
3
(
1
4
-
1
5
)
=
1
4
4
15
，验证
1
3
(
1
4
-
1
5
)
=
1
3×4×5
=
4
3×42×5
=
1
4
4
15

（1）按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想
1
4
(
1
5
-
1
6
)
的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为任意的自然数，且n≥2）表示的等式，并给出证明．
（1）先化简，再求值：(x+2-
5
x-2
)÷
x-3
x-2
，其中x=
5
-3；
（2）若a=1-
2
，先化简再求
a2-1
a2+a
+
a2-2a+1
a2-a
的值；
（3）已知a=
2
+1，b=
2
-1，求a2-a2005b2006+b2的值；
（4）已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，
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化简：
(a+1)2
+2
(b-1)2
-|a-b|；
（5）观察下列各式及验证过程：
N=2时有式①：2×
2
3
=
2+
2
3

N=3时有式②：3×
3
8
=
3+
3
8

式①验证：2×
2
3
=
23
3
=
(23-2)+2
22-1
=
2(22-1)+2
22-1
=
2+
2
3

式②验证：3×
3
8
=
33
8
=
(33-3)+3
32-1
=
3(32-1)+3
32-1
=
3+
3
8

①针对上述式①、式②的规律，请写出n=4时变化的式子；
②请写出满足上述规律的用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并加以验证．
（6）已知关于x的一元二次方程x2+（2m-1）+m2=0有两个实数根x1和x2．    ①求实数m的取值范围；②当x12-x22=0时，求m的值．
观察下列各式及验证过程：
1
2
-
1
3
=
1
2
2
3
，验证
1
2
-
1
3
=
1
2×3
=
2
22×3
=
1
2
2
3
；
1
2
(
1
3
-
1
4
)
=
1
3
3
8
，验证
1
2
(
1
3
-
1
4
)
=
1
2×3×4
=
3
2×32×4
=
1
3
3
8
；
1
3
(
1
4
-
1
5
)
=
1
4
4
15
，验证
1
3
(
1
4
-
1
5
)
=
1
3×4×5
=
4
3×42×5
=
1
4
4
15
…
（1）按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想
1
4
(
1
5
-
1
6
)
的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数，且n≥1）表示的等式，不需要证明．

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