Question

观察下列各式及验证过程：

1 2 - 1 3

=

1

2

2 3

，验证

1 2 - 1 3

=

1 2×3

=

2 22×3

=

1

2

2 3

；

1 2 ( 1 3 - 1 4 )

=

1

3

3 8

，验证

1 2 ( 1 3 - 1 4 )

=

1 2×3×4

=

3 2×32×4

=

1

3

3 8

1 3 ( 1 4 - 1 5 )

=

1

4

4 15

，验证

1 3 ( 1 4 - 1 5 )

=

1 3×4×5

=

4 3×42×5

=

1

4

4 15

（1）按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想

1 4 ( 1 5 - 1 6 )

的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为任意的自然数，且n≥2）表示的等式，并给出证明．

Answer 1

分析：（1）通过观察，不难发现：等式的变形过程利用了二次根式的性质

a2

=a（a≥0），把根号内的移到根号外；
（2）根据上述变形过程的规律，即可推广到一般．表示左边的式子时，观察根号外的和根号内的分子、分母之间的关系可得：

1 n-1 ( 1 n - 1 n+1 )

=

1

n

n n2-1

．

解答：解：（1）

1 4 ( 1 5 - 1 6 )

=

1

5

5 24

验证：

1 4 ( 1 5 - 1 6 )

=

1 4×5×6

=

5 4×52×6

=

1

5

5 24

；
（2）

1 n-1 ( 1 n - 1 n+1 )

=

1

n

n n2-1

验证：

1 n-1 ( 1 n - 1 n+1 )

=

1 (n-1)n(n+1)

=

n (n-1)n2(n+1)

=

1

n

n (n-1)(n+1)

=

1

n

n n2-1

．

点评：本题主要考查了二次根式的性质．此题是一个找规律的题目，观察时，既要注意观察等式的左右两边的联系，还要注意右边必须是一种特殊形式．