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精英家教网如图已知△ABC中,AB=AC,∠ABD=60°,且∠ADB=90°-
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∠BDC,求证:AB=BD+DC.
分析:延长BD至E,使DE=DC,连接CE,AE,得出∠DCE=∠DEC=
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∠BDC,由∠ADE=360°-∠ADB-∠BDC-∠CDE,证出∠ADE=∠ADC,推出△ADC≌△ADE,得到AC=AE=AB,根据等边三角形的判定和性质推出AB=BE,即可推出答案.
解答:精英家教网证明:延长BD至E,使DE=DC,连接CE,AE,
∴∠DCE=∠DEC=
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∠BDC,
∴∠ADE=360°-∠ADB-∠BDC-∠CDE=360°-(90°-
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∠BDC)-∠BDC-(180°-∠BDC)
=90°+
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∠BDC,
∵∠ADC=∠ADB+∠BDC=90°-
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∠BDC+∠BDC,
∴∠ADE=∠ADC,
∵AD=AD,
∴△ADC≌△ADE,
∴AC=AE=AB,
由于∠ABD=60°,
∴△ABE为等边三角形,
∴AB=BE=BD+DE=BD+CD,
即:AB=BD+DC.
点评:本题主要考查对等边三角形的性质和判定,等腰三角形的性质和判定,全等三角形的性质和判定,四边形的内角和定理等知识点的理解和掌握,正确作辅助线并利用性质进行推理是解此题的关键.
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