Question

如图，是某空军部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图，在地面O、A两个观测点测得空中固定目标C的仰角分别是α和β，OA=1千米，tanα=

9

28

，tanβ=

3

8

，位于O点的正上方

5

3

千米D点处的直升飞机向目标C发射防空导弹，该导弹运行达到距地面最大3千米时，相应水平距离为4千米．（即图中E点）
（1）若导弹运行轨道为一抛物线，求该抛物线的解析式；
（2）按以上轨道运行的导弹能否击中目标C？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）依题意得抛物线顶点E（4，3），经过D（0，

5

3

），这顶点式，可求抛物线解析式；
（2）过C点作x轴的垂线，垂足为F，解直角三角形OCF、ACF，可得CF，OF的长，从而可得点C的坐标，判断点C是否满足抛物线解析式．

解答：解：（1）∵顶点E的坐标为（4，3）．
∴设函数的表达式为y=a（x-4）²+3．
将D（0，

5

3

）代入得，a=-

1

12

．
∴y=-

1

12

（x-4）²+3
=-

1

12

x²+

2

3

x+

5

3

．

（2）过点C作CF⊥x轴于点F，tanα=

CF

OF

．
∵tanα=

9

28

，

9

28

=

CF

OF

，
∴OF=

28

9

CF．
∵tanβ=

3

8

，
∴

CF

AF

=

3

8

，∴AF=

8

3

CF．
∵OF-AF=OA=1，
∴

28

9

CF-

8

3

CF=1，
∴CF=

9

4

，OF=

28

9

CF=

28

9

×

9

4

=7，
∴C（7，

9

4

）．
把x=7代入y=-

1

12

x²+

2

3

x+

5

3

．
得y=

9

4

．
∴点C在抛物线上，
∴导弹能击中目标C．

点评：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．