题目内容

如图，是某空军部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图，在地面O、A两个观测点测得空中固定目标C的仰角分别是α和β，OA=1千米， $数学公式$ ，位于O点的正上方 $数学公式$ 千米D点处的直升飞机向目标C发射防空导弹，该导弹运行达到距地面最大3千米时，相应水平距离为4千米．（即图中E点）
（1）若导弹运行轨道为一抛物线，求该抛物线的解析式；
（2）按以上轨道运行的导弹能否击中目标C？请说明理由．

解：（1）∵顶点E的坐标为（4，3）．
∴设函数的表达式为y=a（x-4）²+3．
将D（0， $\text{[math]}$ ）代入得，a=- $\text{[math]}$ ．
∴y=- $\text{[math]}$ （x-4）²+3
=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ．

（2）过点C作CF⊥x轴于点F，tanα= $\text{[math]}$ ．
∵tanα= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴OF= $\text{[math]}$ CF．
∵tanβ= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴AF= $\text{[math]}$ CF．
∵OF-AF=OA=1，
∴ $\text{[math]}$ CF- $\text{[math]}$ CF=1，
∴CF= $\text{[math]}$ ，OF= $\text{[math]}$ CF= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ =7，
∴C（7， $\text{[math]}$ ）．
把x=7代入y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ．
得y= $\text{[math]}$ ．
∴点C在抛物线上，
∴导弹能击中目标C．
分析：（1）依题意得抛物线顶点E（4，3），经过D（0， $\text{[math]}$ ），这顶点式，可求抛物线解析式；
（2）过C点作x轴的垂线，垂足为F，解直角三角形OCF、ACF，可得CF，OF的长，从而可得点C的坐标，判断点C是否满足抛物线解析式．
点评：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．