题目内容
【题目】在△ABC中，有
，如图， △DEF的三个顶点D,E,F分别在△ABC的边BC,AC,AB上.
（1）已知点F是AB的中点.
①如图①，若△DEF是等边三角形，试直接写出正△DEF的边长；
②如图②，若
， △DEF 的面积为10，求CD的长；
（2）若,DF=DE, △DEF的面积是否存在最小值？若存在，求此时CD的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）①
；②CD=2或6；（2）
【解析】
（1）①作FG⊥BC交BC于点G，由题可得：CF垂直平分DE、AB，设CE=CD=a，由勾股定理得DE=DF=
a，根据 等腰直角三角形性质得CG=BG=FG=4，DG=4-a，在Rt△FGD中，由勾股定理得一元二次方程，解之可得a值，从而可得等边三角形△DEF边长；
②根据等腰直角三角形性质和等量代换得∠AFE=∠CFD，由相似三角形判定和性质得
=1，即EF=DF，AF=CD，设CD=AF=x，则CE=8-x，由等腰直角三角形面积公式求得EF=DF=2
， 在Rt△EFD中，根据勾股定理得DE=2
， 在Rt△EFD中，根据勾股定理列出方程解之得CD长.
（2）设CD=x，则BD=8-x，根据等腰直角三角形性质和等量代换得∠AEF=∠BFD，由相似三角形判定和性质得
， 从而可得AF=8-x，BF=x，AE=2x，CE=8-2x，在Rt△CED中，根据勾股定理求得DE2=5x2-32x+64，由三角形面积公式得S△DEF=
DE·DF=
， 由二次函数性质可得△DEF的面积存在最小值及CD的长.
（1）解：①作FG⊥BC交BC于点G，如图：
由题可得：CF垂直平分DE、AB，
设CE=CD=a，
∵∠ACB=90°，
∴DE=a，
∵△DEF是等边三角形，
∴DF=a，
∵FG⊥BC，CA=CB=8，
∴CG=BG=FG=4，DG=4-a，
在Rt△FGD中，
∴FD2=DG2+FG2 ，
即（a）2=（4-a）2+42 ，
解得：a=4
-4，
∴DE=a=，
∴等边三角形△DEF边长为；
②如图2
∵∠ACB=90°，CA=CB，点F时AB中点，
∴CF⊥AB，CF=AF，∠A=∠BCF=45°，
即∠AFE+∠EFC=90°，
∵∠EFD=90°，
即∠CFD+∠EFC=90°，
∴∠AFE=∠CFD，
在△AEF和△CDF中，
∴△AEF≌△CDF（ASA），
∴EF=DF，AF=CD，
设CD=AF=x，
∵AC=8，
∴CE=8-x，
又∵∠EFD=90°，
∴S△EFD=·EF·DF=10，
∴EF=DF=2，
在Rt△EFD中，
∴DE=
，
在Rt△EFD中，
∵EC2+CD2=ED2 ，
∴（8-x）2+x2=40，
即（x-2）（x-6）=0，
解得：x=2，或x=6，
∴CD=2或6.
（2）解：设CD=x，则BD=8-x，
∵CA=CB=8，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，AB=8，
又∵DE=DF，∠EDF=90°，
∴∠DEF=∠DFE=45°，EF=DF，
∴∠AEF+∠AFE=135°，∠BFD+∠AFE=135°，
∴∠AEF=∠BFD，
∴△AFE∽△BDF，
∴，
∴AF=BD=（8-x）=8-x，BF=AB-AF=x，
∴AE=BF=2x，CE=CA-AE=8-2x，
在Rt△CED中，
∴DE2=CE2+CD2 ，
即DE2=x2+（8-2x）2=5x2-32x+64，
∴S△DEF=·DE·DF=DE2，
=
，
=，
当且仅当
时，△DEF的面积存在最小值，且最小值为
.
∴CD=
.
