Question

【题目】如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ＝CP，连接PQ，设CP＝m，△CPQ的面积为S．

①求S关于m的函数表达式；

②当S最大时，在抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+8；（2）①S＝﹣m2+3m；②满足条件的点F共有四个，坐标分别为F1（，8），F2（，4），F3（，6+），F4（，6﹣）．

【解析】

（1）将A、C两点坐标代入抛物线y＝x2＋bx＋c，即可求得抛物线的解析式；

（2）①先用m表示出QE的长度，进而求出三角形的面积S关于m的函数；

②先求出m=5时S取最大值，再根据△DFQ为直角三角形分情况求出F的坐标．

（1）将A、C两点坐标代入抛物线，得

，

解得：，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+8；

（2）①∵OA＝8，OC＝6，

∴AC＝＝10，

过点Q作QE⊥BC与E点，则sin∠ACB＝＝＝，

∴＝，

∴QE＝（10﹣m），

∴S＝CPQE＝m×（10﹣m）＝﹣m2+3m；

②∵S＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣5）2+，

∴当m＝5时，S取最大值；

在抛物线对称轴l上存在点F，使△FDQ为直角三角形，

∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+8的对称轴为x＝，

∴D的坐标为（3，8），

∵CP=AQ=5，

∴CQ=5

过Q点作QG⊥x轴，

∴sin∠ACO==

即

∴QG=4

∴CG=

∴OG=CO-CG=3

∴Q（3，4），

设F（，n），

当∠FDQ＝90°时，则F在直线AB上，

∴F1（，8），

当∠FQD＝90°时，则F的纵坐标与Q点纵坐标相同，

∴F2（，4），

当∠DFQ＝90°时，设F（，n），

则FD2+FQ2＝DQ2，

即+（8﹣n）2++（n﹣4）2＝16，

解得：n＝6±，

∴F3（，6+），F4（，6﹣），

满足条件的点F共有四个，坐标分别为F1（，8），F2（，4），F3（，6+），F4（，6﹣）．