题目内容
如图1，已知双曲线y=
(a＞0)与直线y=kx交于A，C两点，点A在第一象限．试解答下列问题：
（1）若点A的坐标为（4，2），则点C的坐标为
（2）如图2，过原点O作另一条直线l交双曲线y=
于B，D两点，点B在第一象限．设点A，B的横坐标分别为m，n．
①四边形ABCD可能是矩形吗？若可能，直接写出m，n应满足的条件；若不可能，请说明理由．
②四边形ABCD可能是正方形吗？若可能，直接写出m，n应满足的条件；若不可能，请说明理由．
| a |
| x |
（1）若点A的坐标为（4，2），则点C的坐标为
（-4，-2）
（-4，-2）
；若点A的横坐标为m，则点C的坐标可表示为（-m，-km）或（-m，-
）
| a |
| m |
（-m，-km）或（-m，-
）
；| a |
| m |
（2）如图2，过原点O作另一条直线l交双曲线y=
| a |
| x |
①四边形ABCD可能是矩形吗？若可能，直接写出m，n应满足的条件；若不可能，请说明理由．
②四边形ABCD可能是正方形吗？若可能，直接写出m，n应满足的条件；若不可能，请说明理由．
分析：（1）根据反比例函数及正比例函数的图象均关于原点对称可知，A、C两点关于原点对称，故可得出C点坐标；把A点的横坐标代入一次函数或反比例函数解析式可得出其纵坐标，再根据A、C两点关于原点对称即可得出C点坐标；
（2）①先根据A、C两点B、D两点均关于原点对称，可知OB=OD，OA=OC，故四边形ABCD是平行四边形，当OA=OB是四边形ABCD是矩形，此时mn=a；
②若AC⊥BD则四边形ABCD是正方形，此时点A、B在坐标轴上，由于点A，B不可能达到坐标轴故不可能是正方形．
（2）①先根据A、C两点B、D两点均关于原点对称，可知OB=OD，OA=OC，故四边形ABCD是平行四边形，当OA=OB是四边形ABCD是矩形，此时mn=a；
②若AC⊥BD则四边形ABCD是正方形，此时点A、B在坐标轴上，由于点A，B不可能达到坐标轴故不可能是正方形．
解答：解：（1）∵反比例函数及正比例函数的图象均关于原点对称，
∴A、C两点关于原点对称，
∵A（4，2），
∴C（-4，-2）；
∵点A的横坐标为m，
∴A（m，km）或（m，
），
∴C（-m，-km）或（-m，-
）．
故答案为：（-4，-2）； （-m，-km）或（-m，-
）；
（2）①四边形ABCD可能是矩形．
∵点A与点C，点B与点D均关于原点对称，
∴OB=OD，OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
当OA=OB时四边形ABCD是矩形，此时mn=a
∴m，n应满足的条件是m•n=a；
②四边形ABCD不可能是正方形．
理由：当AC⊥BD时四边形ABCD是正方形，此时点A、B在坐标轴上，由于点A，B不可能达到坐标轴故不可能是正方形，即∠BOA≠90°．
∴A、C两点关于原点对称，
∵A（4，2），
∴C（-4，-2）；
∵点A的横坐标为m，
∴A（m，km）或（m，
| a |
| m |
∴C（-m，-km）或（-m，-
| a |
| m |
故答案为：（-4，-2）； （-m，-km）或（-m，-
| a |
| m |
（2）①四边形ABCD可能是矩形．
∵点A与点C，点B与点D均关于原点对称，
∴OB=OD，OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
当OA=OB时四边形ABCD是矩形，此时mn=a
∴m，n应满足的条件是m•n=a；
②四边形ABCD不可能是正方形．
理由：当AC⊥BD时四边形ABCD是正方形，此时点A、B在坐标轴上，由于点A，B不可能达到坐标轴故不可能是正方形，即∠BOA≠90°．
点评：本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数及正比例函数的图象均关于原点对称的特点是解答此题的关键．
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