Question

已知：y关于x的函数的图象与x轴有交点。

（1）求k的取值范围；

（2）若x₁，x₂是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足．

①求k的值；②当时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值。

Answer 1

（1）当k=0时，函数为一次函数y=﹣2x+3，其图象与x轴有一个交点。

当k≠0时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，

令y=0得．

，解得。

综上所述，k的取值范围是k≤1。

（2）①∵x₁≠x₂，由（1）知k＜1且k≠0。

由题意得，即（*），

将（*）代入中得：。

又∵x₁+x₂=，x₁x₂=，∴，

解得：k₁=﹣2，k₂=1（不合题意，舍去）。∴所求k值为﹣2。

②如图，∵k=﹣2，，且﹣1≤x≤1，

由图象知：当x=﹣1时，y_最小=﹣3；当x=时，y_最大=。

∴y的最大值为，最小值为﹣3。

【考点】抛物线与x轴的交点，一次函数的定义，一元二次方程根的判别式和根与系数物关系，二次函数的最值，分类思想和数形结合思想的应用。