Question

如图，矩形BC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3）．双曲线y=

k

x

（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．
（1）求k的值及点E的坐标；
（2）若点F是边OC上一点，且△FCB∽△DBE，求直线FB的解析式．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）根据B的坐标，以及四边形ABCO为矩形，确定出BC中点D坐标，代入反比例解析式求出k的值；根据E在反比例图象上，且B与E横坐标相同，确定出E坐标即可；
（2）由（1）得BD=1，BE=

3

2

，BC=2，由△FCB∽△DBE得比例，求出CF的长，继而确定出OF的长，得到F坐标，设直线FB的解析式为y=k₁x+b，将B（2，3），F（0，

5

3

）代入求出k₁与b的值，即可确定出直线FB解析式．

解答：解：（1）在矩形OABC中，∵B点坐标为（2，3），
∴BC边中点D的坐标为（1，3），
又∵双曲线y=

k

x

的图象经过点D（1，3），
∴3=

k

1

，即k=3，
∵E点在AB上，
∴E点的横坐标为2，
又∵y=

3

x

经过点E，
∴E点纵坐标为

3

2

，
∴E点坐标为（2，

3

2

）；
（2）由（1）得BD=1，BE=

3

2

，BC=2，
∵△FBC∽△DEB，
∴

BD

CF

=

BE

CB

，即

1

CF

=

3 2

2

，
∴CF=

4

3

，
∴OF=

5

3

，即点F的坐标为（0，

5

3

），
设直线FB的解析式为y=k₁x+b，
将B（2，3），F（0，

5

3

）代入得：

3=2k1+b 5 3 =b

，
解得：

k1= 2 3 b= 5 3

，
∴直线FB的解析式为y=

2

3

x+

5

3

．

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，相似三角形的性质，以及矩形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．