Question

19．已知四边形ABCD中，∠BAD=90°，AB=8cm，以A，B，C三点为顶点的三角形是一个等边三角形，以A，C，D三点为顶点的三角形是一个直角三角形，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 首先对图形进行分析，当∠ADC=90°和当ACD=90°，所画图形不同，再利用勾股定理可以求出三角形ABC的面积，再利用解直角三角形的知识求出AD，CD，从而得出三角形面积，从而得出答案．

解答 解：①如图1，作AE⊥BC于点E，
当∠ADC=90°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC=8，
∴EC=4，
∴AE=4$\sqrt{3}$，
∠BAC=60°，
∵∠BAD=90，
∴∠CAD=90°-60°=30°，
在Rt△ACD中，
CD=$\frac{1}{2}$AC=4，AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=$\frac{1}{2}$×BC×AE+$\frac{1}{2}$CD×AD，
=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$×8+$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$×4，
=20$\sqrt{3}$；
②如图2，当∠ACD=90°，
∵AC=8，∠BAD=90°，
∴∠CAD=30°，
∴tan30°=$\frac{CD}{AC}$，
解得：CD=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=$\frac{1}{2}$×BC×AE+$\frac{1}{2}$CD×AC，
=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$×8+$\frac{1}{2}$×$\frac{8\sqrt{3}}{3}$×8，
=$\frac{80\sqrt{3}}{3}$．

点评 此题主要考查了勾股定理与解直角三角形的应用，根据已知进行分类讨论得出两种情况，这种思想经常运用与数学运算与证明，同学们应熟练掌握此知识．