Question

平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数y₁=

4

x

（x＞0）与y₂=-

4

x

（x＜0）的图象上，A、B的横坐标分别为
a、b．

（1）若AB∥x轴，求△OAB的面积；
（2）若△OAB是以AB为底边的等腰三角形，且a+b≠0，求ab的值；
（3）作边长为3的正方形ACDE，使AC∥x轴，点D在点A的左上方，那么，对大于或等于4的任意实数a，CD边与函数y₁=

4

x

（x＞0）的图象都有交点，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：代数几何综合题,压轴题

分析：（1）如图1，AB交y轴于C，由于AB∥x轴，根据k的几何意义得到S_△OAC=2，S_△OBC=2，所以S_△OAB=S_△OAC+S_△OBC=4；
（2）根据函数图象上点的坐标特征得A、B的纵坐标分别为

4

a

、-

4

b

，根据两点间的距离公式得到OA²=a²+（

4

a

）²，OB²=b²+（-

4

b

）²，则利用等腰三角形的性质得到a²+（

4

a

）²=b²+（-

4

b

）²，变形得到（a+b）（a-b）（1-

16

a2b2

）=0，由于a+b≠0，a＞0，b＜0，所以1-

16

a2b2

=0，易得ab=-4；
（3）由于a≥4，AC=3，则可判断直线CD在y轴的右侧，直线CD与函数y₁=

4

x

（x＞0）的图象一定有交点，设直线CD与函数y₁=

4

x

（x＞0）的图象交点为F，由于A点坐标为（a，

4

a

），正方形ACDE的边长为3，则得到C点坐标为（a-3，

4

a

），F点的坐标为（a-3，

4

a-3

），所以FC=

4

a-3

-

4

a

，然后比较FC与3的大小，由于3-FC=3-（

4

a-3

-

4

a

）=

3(a+1)(a-4)

a(a-3)

，而a≥4，所以3-FC≥0，于是可判断点F在线段DC上．

解答：解：（1）如图1，AB交y轴于C，
∵AB∥x轴，
∴S_△OAC=

1

2

×|4|=2，S_△OBC=

1

2

×|-4|=2，
∴S_△OAB=S_△OAC+S_△OBC=4；

（2）∵A、B的横坐标分别为a、b，
∴A、B的纵坐标分别为

4

a

、-

4

b

，
∴OA²=a²+（

4

a

）²，OB²=b²+（-

4

b

）²，
∵△OAB是以AB为底边的等腰三角形，
∴OA=OB，
∴a²+（

4

a

）²=b²+（-

4

b

）²，
∴a²-b²+（

4

a

）²-（

4

b

）²=0，
∴a²-b²+

16(b2-a2)

a2b2

=0，
∴（a+b）（a-b）（1-

16

a2b2

）=0，
∵a+b≠0，a＞0，b＜0，
∴1-

16

a2b2

=0，
∴ab=-4；

（3）∵a≥4，
而AC=3，
∴直线CD在y轴的右侧，直线CD与函数y₁=

4

x

（x＞0）的图象一定有交点，
设直线CD与函数y₁=

4

x

（x＞0）的图象交点为F，如图2，
∵A点坐标为（a，

4

a

），正方形ACDE的边长为3，
∴C点坐标为（a-3，

4

a

），
∴F点的坐标为（a-3，

4

a-3

），
∴FC=

4

a-3

-

4

a

，
∵3-FC=3-（

4

a-3

-

4

a

）=

3(a+1)(a-4)

a(a-3)

，
而a≥4，
∴3-FC≥0，即FC≤3，
∵CD=3，
∴点F在线段DC上，
即对大于或等于4的任意实数a，CD边与函数y₁=

4

x

（x＞0）的图象都有交点．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数比例系数的几何意义、图形与坐标和正方形的性质；会利用求差法对代数式比较大小．