Question

（2012•大丰市二模）已知抛物线y=ax²+bx+c经过O（0，0），A（4，0），B（3，

3

）三点，连接AB，过点B作BC∥x轴交抛物线于点C．动点E、F分别从O、A两点同时出发，其中点E沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向A点运动，点F沿折线A→B→C以每秒1个单位长度的速度向C点运动．设动点运动的时间为t（秒）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）记△EFA的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求S的最大值，指出此时△EFA的形状；
（3）是否存在这样的t值，使△EFA是直角三角形？若存在，求出此时E、F两点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将三点的坐标代入，利用待定系数法求解即可得出答案．
（2）过点B作BM⊥x轴于M构建Rt△ABM，由点B的坐标可以求得BM=

3

，OM=3，由点A的坐标可以求得OA=4，根据图形可知AM=1，在该三角形中利用勾股定理可以求得AB=2，所以根据直角三角形的边角关系可以推知∠BAM=60°；最后根据t的不同取值范围进行分类讨论，并求得相应的S的值，通过比较即可求得S的最大值；
（3）需要分类讨论：①当0≤t≤2时，若∠EFA=90°，此时∠FEA=30°，在直角三角形中根据三角函数的定义可以求得t=

4

3

，据此可以求得相应的电E、F的坐标；
②当∠FEA=90°时，此时∠EFA=30°，在直角三角形中根据三角函数的定义可以求得t=

8

3

，故这种情况不存在；
③当2＜t≤4时，有t-2+t=3，即t=2.5，据此可以求得相应的电E、F的坐标．

解答：解：（1）根据题意得

c=0 16a+4b+c=0 9a+3b+c= 3

，
解得：

a=- 3 3 b= 4 3 3 c=0

，
故函数解析式为：y=-

3

3

x2+

4 3

3

x；

（2）过点B作BM⊥x轴于M，
则BM=

3

，OM=3，
∵OA=4，
∴AM=1，AB=

AM2+BM2

=2，
∵AM=

1

2

AB，
∴∠BAM=60°，
当0＜t≤2时，AF=t，过点F作FH⊥x轴，
∵FH=AFsin60°=

3

2

t，s=

1

2

(4-t)×

3

2

t=-

3

4

t2+

3

t，
当2＜t≤4时，如图，s=

1

2

(4-t)×

3

=-

3

2

t+2

3

，
当0＜t≤2时，当t=-

3

2×(- 3 4 )

=2时，s最大值=

3

，
∵当2＜t≤4时，s＜

3

∴当t=2时，s最大值=

3

，
此时AE=AF=2，
又∵∠EAF=60°．
∴△AEF为等边三角形．

（3）当0≤t≤2时，
∵若∠EFA=90°，此时∠FEA=30°，
∴EA=2AF，4-t=2t，
∴t=

4

3

．
此时E(

4

3

，0)，F(

10

3

，

2 3

3

)
当∠FEA=90°时，此时∠EFA=30°，
∴2EA=AF，
∴t=2（4-t）
∴t=

8

3

＞2，
∴这种情况不存在．
当2＜t≤4时，有t-2+t=3
∴t=2.5
E（2.5，0），F（2.5，

3

）．

点评：本题考查了二次函数综合题．解答该题时，采用了“分类讨论”的数学思想，以防漏解．