Question

在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y₁=ax²+3x+c的图像经过原点及点

A（1，2）， 与x轴相交于另一点B.

（1）求：二次函数y₁的解析式及B点坐标；

（2）若将抛物线y₁以x=3为对称轴向右翻折后，得到一个新的二次函数y₂,已知二次函数y₂与x轴交于两点，其中右边的交点为C点. 点P在线段OC上，从O点出发向C点运动，过P点作x轴的垂线，交直线AO于D点，以PD为边在PD的右侧作正方形PDEF（当P点运动时，点D、点E、点F也随之运动）；

①当点E在二次函数y₁的图像上时，求OP的长.

②若点P从O点出发向C点做匀速运动，速度为每秒1个单位长度，同时线段OC上另一个点Q从C点出发向O点做匀速运动，速度为每秒2个单位长度（当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动）.过Q点作x轴的垂线，与直线AC交于G点，以QG为边在QG的左侧作正方形QGMN（当Q点运动时，点G、点M、点N也随之运动），若P点运动t秒时，两个正方形分别有一条边恰好落在同一条直线上（正方形在x轴上的边除外），求此刻t的值.

Answer 1

【解】（1）∵二次函数y₁=ax²+3x+c的图象经过原点及点A（1，2），

∴将（0，0），代入得出： c=0，

将（1，2）代入得出：a+3=2，解得：a=-1，

故二次函数解析式为：y₁=-x²+3x，

∵图象与x轴相交于另一点B，

∴0=-x²+3x，

解得：x=0或3，

则B（3，0）；（2）①由已知可得C（6，0）

如图：过A点作AH⊥x轴于H点，设OP=m

∵DP∥AH，

∴△OPD∽△OHA，

∴，即，

∴PD=2m，∵正方形PDEF，

∴E（3m，2m），

∵E（3m，2m）在二次函数y₁=-x²+3x的图象上，

∴m=；

即OP=．②如图1：

当点F、点N重合时，有OF+CN=6，

∵直线AO过点（1，2），

故直线解析式为：y=2x，

当OP=t，

则AP=2t，

∵直线AC过点（1，2），（6，0），

代入y=kx+b，

，解得：，

故直线AC的解析式为：y=，

∵当OP=t，QC=2t，

∴QO=6-2t，

∴GQ==

即NQ=，

∴OP+PN+NQ+QC=6，

则有3t+2t+=6，

解得：t=；

如图2：

当点F、点Q重合时，有OF+CQ=6，则有3t+2t=6，

解得：t=；

如图3：

当点P、点N重合时，有OP+CN=6，则有t+2t+=6，

解得：t=，

如图4：

当点P、点Q重合时，有OP+CQ=6，则有t+2t=6，

解得：t=2．

故此刻t的值为：t₁=，t₂=，t₃=，t₄=2．