Question

【题目】如图，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，且∠ACB＝∠BEC＝90°，AC＝4，点P为线段BE延长线上一点，连接CP以CP为直角边向下作等腰直角△CPD，线段BE与CD相交于点F．

（1）求证：；

（2）连接BD，请你判断AC与BD有什么位置关系？并说明理由；

（3）若PE＝1，求△PBD的面积．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2) AC∥BD，理由见解析;(3)

【解析】

（1）直接利用相似三角形的判定方法得出△BCE∽△DCP，进而得出答案；
（2）首先得出△PCE∽△DCB，进而求出∠ACB=∠CBD，即可得出AC与BD的位置关系；
（3）首先利用相似三角形的性质表示出BD，PM的长，进而根据三角形的面积公式得到△PBD的面积．

（1）证明：∵△BCE和△CDP均为等腰直角三角形，

∴∠ECB＝∠PCD＝45°，∠CEB＝∠CPD＝90°，

∴△BCE∽△DCP，

∴；

（2）解：结论：AC∥BD，

理由：∵∠PCE+∠ECD＝∠BCD+∠ECD＝45°，

∴∠PCE＝∠BCD，

又∵，

∴△PCE∽△DCB，

∴∠CBD＝∠CEP＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACB＝∠CBD，

∴AC∥BD；

（3）解：如图所示：作PM⊥BD于M，

∵AC＝4，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，

∴BE＝CE＝4，

∵△PCE∽△DCB，

∴，即，

∴BD＝，

∵∠PBM＝∠CBD﹣∠CBP＝45°，BP＝BE+PE＝4+1＝5，

∴PM＝5sin45°＝

∴△PBD的面积S＝BDPM＝××＝．