Question

你能比较两个数2004²⁰⁰³和2003²⁰⁰⁴的大小吗？
为了解决这个问题，我们首先把它抽象成一般开工，即比较（n+1）ⁿ和nⁿ⁺¹的大小（n为自然数），我们从分析特殊向简单的情形入手，n=1，n=2，n=3，…的分析，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论．
（1）计算，比较下列各组数中两个数大小（在空格中填“＞”、“=”、“＜”）1²

＜

2¹，2³

＜

3²，3⁴

＞

4³，4⁵

＞

5⁴，5⁶

＞

6⁵，…
（2）从上面的结果进行归纳猜想，nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小关系是

nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ（n＜3）；nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ（n≥3）

．
（3）根据上面的归纳猜想出一般结论，试比较2004²⁰⁰³和2003²⁰⁰⁴的大小．

Answer 1

分析：（1）利用有理数的乘方运算法则得出即可；
（2）利用（1）中所求得出变化规律，进而得出nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小关系；
（3）利用（1）中所求得出变化规律，进而得出2004²⁰⁰³和2003²⁰⁰⁴的大小关系．

解答：解：（1）∵1²=1，2¹=2，
∴1²＜2¹，
∵2³=8，3²=9，
∴2³＜3²，
∵3⁴=81，4³=64，
∴3⁴＞4³，
∵4⁵=1024，5⁴=625，
∴4⁵＞5⁴，
∵5⁶=15625，6⁵=7776
∴5⁶＞6⁵，
故答案为：＜，＜，＞，＞，＞；

（2）由（1）得出：nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ（n＜3）；
nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ（n≥3）；
故答案为：nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ（n＜3）；nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ（n≥3）；

（3）根据上面归纳猜想得到的一般结论可知2004²⁰⁰³＜2003²⁰⁰⁴．

点评：本题考查的是有理数的乘方，先根据有理数乘方的法则计算出各数，再根据已知数据得出一般规律是解题关键．