Question

你能比较两个数2010²⁰¹¹和2011²⁰¹⁰的大小？
（1）通过计算，比较下列各数的大小：
1²

＜

2¹；2³

＜

3²；3⁴

＞

4³；4⁵

＞

5⁴；5⁶

＞

6⁵；…
（2）从第一题的结果经过归纳，可以猜想出nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ大小关系是

当n≤2时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，当n＞2时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ

．
（3）根据上面的归纳猜想得到的结论，试比较两数大小2010²⁰¹¹

＞

2011²⁰¹⁰．

Answer 1

分析：（1）分别进行计算即可比较出大小；
（2）根据计算结果总结即可；
（3）根据（2）的结论，结合n=2010解答．

解答：解：（1）1²=1，2¹=2，
∵1＜2，
∴1²＜2¹，

2³=8，3²=9，
∵8＜9，
∴2³＜3²，

3⁴=81，4³=64，
∵81＞64，
∴3⁴＞4³，

4⁵=1024，5⁴=625，
∵1024＞625，
∴4⁵＞5⁴，

5⁶=15625，6⁵=7776，
∵15625＞7776，
∴5⁶＞6⁵；

（2）根据（1）的计算，当n≤2时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，
当n＞2时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；

（3）∵n=2010＞2，
∴2010²⁰¹¹＞2011²⁰¹⁰．
故答案为：（1）＜、＜、＞、＞、＞，（2）当n≤2时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，当n＞2时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ，（3）＞．

点评：本题考查了有理数的乘方，根据乘方的定义正确运算是准确总结出大小变化规律的关键．