Question

如图，点E为正方形ABCD中AD边上的动点，AB=2，以BE为边画正方形BEFG，连结CF和CE，则△CEF面积的最小值为　　　　　　．

　

Answer 1

　　．

【考点】正方形的性质．

【分析】过点F作FM⊥AD延长线于点M，令EF与CD的交点为N点，设AE=x．根据三角形的面积公式可知S_△CEF=CN•ME，由此可知当CN最小时△CEF的面积取最小值．根据给定的条件已经角的计算找出“∠AEB=∠MFE，∠ABE=∠MEF”，从而证出△ABE≌△MEF，即得出MF=AE，ME=AB，再通过相似三角形的性质用含x的关系式表示出DN的长度，根据二项式的性质即可找出DN的最大值，将其代入前面的面积公式中即可得出结论．

【解答】解：过点F作FM⊥AD延长线于点M，令EF与CD的交点为N点，如图所示．

则S_△CEF=CN•ME．

∵四边形ABCD为正方形，四边形BEFG为正方形，

∴∠A=90°，∠BEF=90°，BE=EF，

∴∠AEB+∠ABE=90°，∠MEF+∠MFE=90°，∠AEB+∠BEF+∠MEF=180°，

∴∠AEB=∠MFE，∠ABE=∠MEF．

在△ABE和△MEF中，

，

∴△ABE≌△MEF（ASA）．

∴MF=AE，ME=AB．

∵CD⊥AD，FM⊥AD，

∴ND∥FM，

∴△EDN∽△AMF，

∴．

设AE=x，则ED=AD﹣AE=2﹣x，EM=AB=2，MF=AE=x，

∴DN==﹣x²+x=﹣（x﹣1）²+≤．

∴CN=CD﹣DN≥2﹣≥．

∴△CEF面积的最小值为CN•ME=××2=．

故答案为：．

【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、三角形的面积公式及二次函数的性质，解题的关键是找出线段DN的最大值．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据三角形的面积公式找出其去最值的条件，再结合二次函数的性质去解决最值问题．