Question

【题目】如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形．

（1）如图1，连接AG、CE，试判断AG和CE的数量关系和位置关系为　 　（直接写结果）

（2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转β角（0°＜β＜180°），如图2，连接AG、CE相交于点M，连接MB，当角β发生变化时，AG和CE的数量关系和位置关系是否发生变化？请说明理由．

（3）在（2）的条件下，如备用图，连接MB，过点A作AN⊥MB交MB的延长线于点N，若MB＝3，正方形ABCD的边长为3，求BN的长．

Answer 1

【答案】（1）AG＝EC，AG⊥EC；（2）结论不变，见解析；（3）BN＝.

【解析】

（1）AG=EC，AG⊥EC，理由为：由正方形BEFG与正方形ABCD，利用正方形的性质得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS得出三角形ABG与三角形CBE全等，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到CE=AG，∠BCE=∠BAG，再利用同角的余角相等即可得证；
（2）结论不变，理由为：利用SAS得出三角形ABG与三角形BEC全等即可解决问题；
（3）过B作BP⊥EC，BH⊥AM，首先证明BM平分∠BME，再证明CM=BN，求出MC即可解决问题；

解：（1）AG=EC，AG⊥EC，
理由为：如图1中，

∵正方形BEFG，正方形ABCD，
∴GB=BE，∠ABG=90°，AB=BC，∠ABC=90°，
在△ABG和△BEC中，
，
∴△ABG≌△BEC（SAS），
∴CE=AG，∠BCE=∠BAG，
延长CE交AG于点M，
∴∠BEC=∠AEM，
∴∠ABC=∠AME=90°，
∴AG=EC，AG⊥EC；
故答案为AG=EC，AG⊥EC，

（2）结论不变．
理由为：如图2中，设AM交BC于O．

∵∠EBG=∠ABC=90°，
∴∠ABG=∠EBC，
在△ABG和△CEB中，
,

，
∴△ABG≌△CEB（SAS），
∴AG=EC，∠BAG=∠BCE，
∵∠BAG+∠AOB=90°，∠AOB=∠COM，
∴∠BCE+∠COM=90°，
∴∠OMC=90°，
∴AG⊥EC．

（3）如图2中，过B作BP⊥EC，BH⊥AM，
∴S△ABG=S△EBC，AG=EC，
∴

ECBP=AGBH，
∴BP=BH，
∴MB为∠EMG的平分线，
∵∠AMC=∠ABC=90°，
∴∠EMB=∠EMG=×90°=45°；
如图3中，在NA上截取NQ=NB，连接BQ，作BH⊥AM于H，连接AC．

∴△BNQ为等腰直角三角形，即BQ=BN，
∵∠AMN=45°，∠N=90°，
∴△AMN为等腰直角三角形，即AN=MN，
∴MN-BN=AN-NQ，即AQ=BM，
∵∠MBC+∠ABN=90°，∠BAN+∠ABN=90°，
∴∠MBC=∠BAN，
在△ABQ和△BCM中，
，
∴△ABQ≌△BCM（SAS），
∴CM=BQ，
则CM=BN，
∵∠BMH=45°，BH⊥AM，BM=3
∴BH=HM=3，
∴AH==6，
∴AM=9，AC=3，
∴CM==3，
∴BN=CM=.