Question

【题目】（1）如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，求证：＝．

（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若，则的值为　 　．

（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝12，BC＝CD＝4，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1，易证AP=EF，GH=BQ，△PDA∽△QAB，然后运用相似三角形的性质就可解决问题；
（2）只需运用（1）中的结论，就可得到，就可解决问题；
（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，易证四边形ABSR是矩形，由（1）中的结论可得．设SC=x，DS=y，则AR=BS=4+x，RD=12-y，在Rt△CSD中根据勾股定理可得x2+y2=16①，在Rt△ARD中根据勾股定理可得（4+x）2+（12-y）2=144②，解①②就可求出x，即可得到AR，问题得以解决．

解：（1）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥DC，AD∥BC．

∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，

∴AP＝EF，GH＝BQ．

又∵GH⊥EF，

∴AP⊥BQ，

∴∠QAT+∠AQT＝90°．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠DAB＝∠D＝90°，

∴∠DAP+∠DPA＝90°，

∴∠AQT＝∠DPA．

∴△PDA∽△QAB，

∴，

∴＝．

（2）如图2，

∵EF⊥GH，AM⊥BN，

∴由（1）中的结论可得＝，＝；

∴，

故答案为；

（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，

则四边形ABSR是平行四边形．

∵∠ABC＝90°，

∴平行四边形ABSR是矩形，

∴∠R＝∠S＝90°，RS＝AB＝12，AR＝BS．

∵AM⊥DN，

∴由（1）中的结论可得 ．

设SC＝x，DS＝y，则AR＝BS＝4+x，RD＝12﹣y，

∴在Rt△CSD中，x2+y2＝16①，

在Rt△ARD中，（4+x）2+（12﹣y）2＝144②，

由②﹣①得x＝3y﹣4③，

解方程组 ，得（舍去），或 ，

∴AR＝4+x＝

∴.