Question

【题目】如图，在菱形中，，点、分别为边、上的点，且，连接、交于点，连接交于点，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论个数是（ ）

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】D

【解析】

由菱形ABCD中，AB=AC，易证得△ABC是等边三角形，则可得∠B=∠EAC=60°，由SAS即可证得△ABF≌△CAE，可得∠BAF=∠ACE，EC=AF，由外角性质可得∠FHC=∠B，可判断①②，由点A，H，C，D四点共圆，可得∠AHD=∠ACD=60°，∠ACH=∠ADH=∠BAF，可证△AEH～△DAH，可判断③，通过证明△AEH∽△CEA，可得，可得AEAD=AHAF，可判断④，即可求解．

解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵AB=AC，
∴AB=BC=AC，
即△ABC是等边三角形，
同理：△ADC是等边三角形
∴∠B=∠EAC=60°，
在△ABF和△CAE中，，
∴△ABF≌△CAE（SAS）；
∴∠BAF=∠ACE，EC=AF，
∵∠FHC=∠ACE+∠FAC=∠BAF+∠FAC=∠BAC=60°，
∴∠FHC=∠B，
故①正确，②正确；
∵∠AHC+∠ADC=120°+60°=180°，
∴点A，H，C，D四点共圆，
∴∠AHD=∠ACD=60°，∠ACH=∠ADH=∠BAF，
∴∠AHD=∠FHC=∠AHE=60°，
∴△AEH～△DAH，故③正确；
∵∠ACE=∠BAF，∠AEH=∠AEC，
∴△AEH∽△CEA，
∴，
∴AEAC=AHEC，
∴AEAD=AHAF，
故④正确；
故选：D．