Question

如图，已知抛物线经过A（-2，0）、B（0，2

3

）、C（6，0）三点，连结AB、BC，在抛物线内作平行四边形ABCD，连结BD与x轴交于E点．
（1）求直线BD的解析式；   
（2）求此抛物线的解析式；
（3）若抛物线上有一动点P在BC之间移动，那么当它运动到什么位置时，该动点到x轴的距离和到直线BD的距离相等？

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）由平行四边形ABCD的性质可知，点E是AC的中点，其坐标为（2，0），结合点B（0，2

3

），可设直线BD的解析式为y=kx+b，代入即可求出解析式；
（2）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，根据已知，经过三点A（-2，0）、B（0，2

3

）、C（6，0），代入即可求出解析式；
（3）根据到角两的距离相等的点在角的平分线上，可知要求的动点既在抛物线上，又在∠BEC的平分线上，因为OB=2

3

，OE=2，可根据三角函数求出∠OEB=60°．作∠BEC的角平分线EP与抛物线交于点P，并反向延长与y轴交于点M，可知点P处于抛物线上的BC之间，即为所求之点，显然可知∠OEM=60°，利用三角函数求出OM=2

3

直线EP经过点E（2，0）和M（0，-2

3

），可求出此直线的解析式为y=

3

x-2

3

，结合抛物线的解析式可求得两个交点，即（4，2

3

）和（-6，-8

3

），由于点P在BC之间，故点P的坐标为（4，2

3

）．

解答：解：（1）由平行四边形ABCD的性质可知，点E是AC的中点，其坐标为（2，0），结合点B（0，2

3

），
设直线BD的解析式为y=kx+b，代入得：

b=2 3 2k+b=0

，
解得：

k=- 3 b=2 3

，
故解析式为y=-

3

x+2

3

．

（2）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，根据已知，经过三点A（-2，0）、B（0，2

3

）、C（6，0），
代入得：

4a-2b+c=0 c=2 3 36a+6b+c=0

，
解得：

a=- 2 3 3 b=- 3 6 c=2 3

，
故解析式为：y=-

2 3

3

x²-

3

6

x+2

3

；

（3）作∠BEC的角平分线EP与抛物线交于点P，并反向延长与y轴交于点M，可知点P处于抛物线上的BC之间，即为所求之点．
∵OB=2

3

，OE=2，
∴tan∠OEB=

3

，故∠CEP=60°，
显然可知∠OEM=60°，故OM=2

3

直线EP经过点E（2，0）和M（0，-2

3

），
∴

2k+b=0 c=-2 3

，
解得：

k= 3 b=2 3

，
∴此直线的解析式为：y=

3

x-2

3

，
∴

y=- 2 3 2 x2+ 3 3 x+2 3 y= 3 x-2 3

，
解得：

x1=4 y1=2 3

，

x2=-6 y2=-8 3

，
∴两函数两个交点坐标为：（4，2

3

）和（-6，-8

3

），
由于点P在BC之间，故点P的坐标为（4，2

3

）．

点评：此题主要考查了二次函数综合以及二元二次方程组的解法和待定系数法求一次函数和二次函数解析式等知识，得出直线ME的解析式是解题关键．