如图1.已知a2+4a+4+b2-16b+64=0.A.以AC.BC为边.在△ABC外作正方形ACFG.正方形CBED．(1)若m2=16.求证:DF=AB,(2)如图2.当C在y轴正半轴上运动时.设 DF交y轴正半轴于H.若△CFH的面积为15.求C的坐标．(3)如图3.当C在y轴正半轴上运动时.连CE.取GE的中点Q.连DQ.FQ.则①DQ:FQ值不变,②DQ+FQ值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．如图1，已知a²+4a+4+b²-16b+64=0，A（a，0）、B（b，0），C（0，m）（m＞0），以AC、BC为边，在△ABC外作正方形ACFG、正方形CBED．
（1）若m²=16，求证：DF=AB；
（2）如图2，当C在y轴正半轴上运动时，设 DF交y轴正半轴于H，若△CFH的面积为15，求C的坐标．
（3）如图3，当C在y轴正半轴上运动时，连CE，取GE的中点Q，连DQ、FQ，则
①DQ：FQ值不变；
②DQ+FQ值不变．
两个结论中有且只有一个正确，请选择正确的结论予以证明．

分析（1）先证△ACB是直角三角形，再证△FCD≌△ACB即可；
（2）作FJ⊥y轴于点J，DK⊥y轴于点K，先证FJ=OC，再证CH为AB的一半，从而△CFH的面积就可以用m表示，建立方程解之即可；
（3）注意到正方形的对角线相互平分，因此连接AF、CG交于点M，连接CE、BD交于点N，连接MQ、NQ，则可证△FMQ≌△QND，进而可得△DQF是等腰直角三角形，于是DQ：FQ值不变．

解答解：（1）∵a²+4a+4+b²-16b+64=（a+2）²+（b-8）²=0，
∴a=-2，b=8，
∴A（-2，0），B（8，0），
∵C（0，m），m²=16，
∴OC²=OA•OB，
∴∠ACB=90°，
∴∠FCD=90°，
在△FCD和△ACB中，
$\left\{\begin{array}{l}{FC=AC}\\{∠FCD=∠ACB}\\{CD=CB}\end{array}\right.$，
∴△FCD≌△ACB（SAS），
∴DF=AB；
（2）如图2，作FJ⊥y轴于点J，DK⊥y轴于点K，

∵∠CFJ+∠FCJ=∠FCJ+∠ACO=90°，
∴∠CFJ=∠ACO，
在△FCJ和△CAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CFJ=∠ACO}\\{∠FJC=∠COA}\\{CF=CA}\end{array}\right.$，
∴△FCJ≌△CAO（AAS），
∴CJ=AO，FJ=CO，
同理△DKC≌△COB，
∴DK=CO，CK=BO，
在△FHJ和△DHK中，
$\left\{\begin{array}{l}{FJ=DK}\\{∠FHJ=∠DHK}\\{∠FJH=∠DKH}\end{array}\right.$，
∴△FHJ≌△DHK（AAS），
∴KH=HJ，
∴CH=CJ+JH=AO+$\frac{1}{2}$（CK-CJ）=AO+$\frac{1}{2}$（BO-AO）=$\frac{1}{2}$（AO+BO）=5，
∵${S}_{△CFH}=\frac{1}{2}×CH×FJ$=$\frac{1}{2}×m×5=15$，
∴m=6，
∴C（0，6）；
（3）①正确．
如图3，连接AF、CG交于点M，连接CE、BD交于点N，连接MQ、NQ，延长MQ交BD于点R，

则CG与AF相等且相互垂直平分，BD与CE相等且相互垂直平分，
∵Q为EG中点，
∴MQ∥CN，MQ=CN，
NQ∥CM，NQ=CM，
∴CMQN是平行四边形，
∴∠CMQ=∠CNQ，
∴FMQ=∠QND，
在△FMQ和△QND中，
$\left\{\begin{array}{l}{FM=QN}\\{∠FMQ=∠QND}\\{MQ=ND}\end{array}\right.$，
∴△FMQ≌△QND（SAS），
∴∠FQM=∠QDN，FQ=DQ，
∴$\frac{DQ}{FQ}=1$．

点评本题考查了完全平方公式、非负数和为零、相似三角形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积计算、三角形中位线、平行四边形的判定与性质等众多知识点，综合性较强，难度较大．正方形的一个重要性质就是对角线相等且相互垂直平分，在遇到与正方形有关且又有中点条件的题目，正方形对角线的交点就是“天然”的中点，再和已知中点一起，往往可以构造中位线，从而找到问题的突破口，这一点要牢记．