Question

【题目】定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：==+=1+，==+=2+，则和都是“和谐分式”．

（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是______（填序号）；

①；②；③；④

（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：=______+______；

（3）应用：先化简-÷，并求x取什么整数时，该式的值为整数．

Answer 1

【答案】（1）①③④；（2）a-1、；（3）x=-3．

【解析】

（1）由“和谐分式”的定义对①③④变形即可得；

（2）由原式=可得；

（3）将原式变形为，据此得出x+1=±1或x+1=±2，即x=0或-2或1或-3，又x≠0、1、-1、-2，据此可得答案．

（1）①，是和谐分式；③，是和谐分式；④，是和谐分式；

（2），

（3）原式=，

=，

=，

=，

，

∴当x+1=±1或x+1=±2时，分式的值为整数，

此时x=0或-2或1或-3，

又∵分式有意义时x≠0、1、-1、-2，

∴x=-3．