Question

【题目】如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D与点B分别位于直线AC的两侧，且AD＝AC，连结BD、CD，BD交直线AC于点E．

（1）当∠CAD＝90°时，求线段AE的长．

（2）过点A作AH⊥CD，垂足为点H，直线AH交BD于点F，

①当∠CAD＜120°时，设AE＝x，y＝（其中S△BCE表示△BCE的面积，S△AEF表示△AEF的面积），求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

②当时，请直接写出线段AE的长．

Answer 1

【答案】（1）4﹣2；（2）①y＝（0＜x＜2）；②AE的长为1或．

【解析】

（1）先证明∠EBC＝45°，过点E作EG⊥BC，垂足为点G．AE＝x，则EC＝2﹣x．根据BG＝EG构建方程求出x即可得出答案．

（2）①证明△AEF∽△BEC，可得，由此构建关系式即可解决问题．

②分两种情形：当∠CAD＜120°时，当120°＜∠CAD＜180°时，分别得出方程求解即可

解：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC＝AC＝2，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°．

∵AD＝AC，

∴AD＝AB，

∴∠ABD＝∠ADB，

∵∠ABD+∠ADB+∠BAC+∠CAD＝180°，∠CAD＝90°，∠ABD＝15°，

∴∠EBC＝45°．

过点E作EG⊥BC，垂足为点G．

设AE＝x，则EC＝2﹣x．

在Rt△CGE中，∠ACB＝60°，

∴EG＝ECsin∠ACB＝（2﹣x），CG＝ECcos∠ACB＝1﹣x，

∴BG＝2﹣CG＝1+x，

在Rt△BGE中，∠EBC＝45°，

∴1+（2﹣x），

解得x＝4﹣2．

∴线段AE的长是4﹣2．

（2）①当∠CAD＜120°时，

设∠ABD＝α，则∠BDA＝α，∠DAC＝∠BAD﹣∠BAC＝120°﹣2α．

∵AD＝AC，AH⊥CD，

∴∠CAF＝∠DAC＝60°﹣α，

又∵∠AEF＝60°+α，

∴∠AFE＝60°，

∴∠AFE＝∠ACB，

又∵∠AEF＝∠BEC，

∴△AEF∽△BEC，

∴，

由（1）得在Rt△CGE中，BG＝1+x，EG＝（2﹣x），

∴BE2＝BG2+EG2＝x2﹣2x+4，

∴y＝（0＜x＜2）．

②如图

y＝，则有，

整理得3x2+x﹣2＝0，

解得x＝或﹣1（舍去），

∴AE＝．

当120°＜∠CAD＜180°时，同法可得y＝，

当y＝时，，

整理得3x2﹣x﹣2＝0，

解得x＝﹣（舍去）或1，

∴AE＝1．

综合以上可得AE的长为1或．