Question

已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N。

 

（1）当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图1，求证：MN²=AM²+BN²；（思路点拨：考虑MN²=AM²+BN²符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决，可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，只需证DN=BN，∠MDN=90°就可以了，请你完成证明过程。）
（2）当扇形CEF绕点C旋转至图2的位置时，关系式MN²=AM²+BN²是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

Answer 1

解：（1）将△ACM沿直线CE对折，得△，连 则 有 又由，得 由 得 又 ∴ 有 ∴ ∴在中，由勾股定理 得 即。
（2）关系式仍然成立 将沿直线CE对折，得△，连 则 有 又由，得 由 得 又 ∴ 有， ∴ ∴在中，由勾股定理 得 即。