Question

10．如图，已知，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别为AB、AC的中点．求证：四边形AEDF是菱形．

Answer 1

分析 根据等腰三角形的性质可得BD=CD，AD⊥BC，再根据三角形的中位线定理可得ED∥AC，DF∥AB，进而可得四边形AEDF是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=DF，进而可得四边形AEDF是菱形．

解答 证明：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线交BC于点D，
∴BD=CD，
∵E、F分别为AB、AC的中点，
∴ED∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线交BC于点D，
∴AD⊥BC，
∵E、F分别为AB、AC的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB，DF=$\frac{1}{2}$AC，
∴DE=DF，
∴四边形AEDF是菱形．

点评 此题主要考查了菱形的判定，以及三角形中位线定理，直角三角形的性质，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．