Question

已知：如图，正方形ABCD中，点E是BA延长线上一点，连接DE，点F在DE上且DF=DC，DG⊥CF于G．DH平分∠ADE交CF于点H，连接BH．
（1）若DG=2，求DH的长；
（2）求证：BH+DH=CH．

Answer 1

（1）解：∵如图，DF=DC，DG⊥CF，
∴∠FDG=∠FDC．
∵DH平分∠ADE，
∴∠FDH=∠ADF，
∴∠HDG=∠FDG-∠FDH=（∠FDC-∠ADF）=∠ADC=45°．
∴△DGH是等腰直角三角形，
∵DG=2，
∴DH=2；

（2）证明：如图，过点C作CM⊥CH，交HD延长线于点M．
∵∠DCB=90°，
∴∠1=∠2（同角的余角相等）．
又∵△DGH是等腰直角三角形，
∴△MCH是等腰直角三角形，
∴MC=CH．
∴MH=CH．
∵在△MCD与△HCB中，，
∴△MCD≌△HCB）SAS），
∴DM=BH．
∴BH+DH=DM+DH=MH=CH．即BH+DH=CH．
分析：（1）通过证明△DGH是等腰直角三角形，得到DH=DG=2；
（2）如图，过点C作CM⊥CH，交HD延长线于点M．构建等腰直角△HCM和全等三角形△MCD≌△HCB，所以根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质推知MH=CH，DM=BH．则BH+DH=MH=CH．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．