题目内容

已知:如图,正方形ABCD的边长为2a,H是以BC为直径的半圆O上一点,过H与圆O相切的直线交AB精英家教网于E,交CD于F.
(1)当点H在半圆上移动时,切线EF在AB、CD上的两个交点也分别在AB、CD上移动(E、A不重合,F、D不重合),试问:四边形AEFD的周长是否也在变化?证明你的结论;
(2)设△BOE的面积为S1,△COF的面积为S2,正方形ABCD的面积为S,且S1+S2=
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S,求BE与CF的长.
分析:(1)根据切线长定理证明周长为定值;
(2)根据面积公式,由S1+S2=
13
48
S得BE、CF的关系式;证明△EBO∽△OCF得BE、CF的又一关系式.解方程组求解.
解答:解:(1)由题意知,AB、CD、EF都与半圆相切,
∴EH=EB,FH=CF.
∴四边形AEFD的周长=AE+EH+HF+DF+AD=AE+EB+FC+DF+AD=6a.
∴四边形AEFD的周长是定值,没有变化.

(2)∵EO平分∠BEH,FO平分∠CFH,
∴OF⊥EO.
∵∠EOB、∠OFC同为∠FOC的余角,∴∠EOB=∠OFC.
又∠EBO=∠OCF=90°,
∴△EBO∽△OCF.
EB
OC
=
OB
CF
,即EB•CF=OC•OB=a2…①
∵S1+S2=
13
48
S,
1
2
OB•BE+
1
2
OC•CF=
13
48
•4a2
即BE+CF=
13
6
a…②
解①②得BE=
3
2
a,FC=
2
3
a;或BE=
2
3
a,FC=
3
2
a.
点评:此题考查了切线的性质、相似三角形的判定和性质等知识点,综合性较强,难度偏上.
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