Question

【题目】数学课上，张老师出示了如下框中的题目．

已知，在中，，，点为的中点，点和点分别是边和上的点，且始终满足，试确定与的大小关系．

小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

（1）（特殊情况，探索结论）如图1，若点与点重合时，点与点重合，容易得到与的大小关系．请你直接写出结论：____________（填“”，“”或“”）．

（2）（特例启发，解答题目）如图2，若点不与点重合时，与的大小关系是：_________（填“”，“”或“”）．理由如下：连结，（请你完成剩下的解答过程）

（3）（拓展结论，设计新题）在中，，点为的中点，点和点分别是直线和直线上的点，且始终满足，若，，求的长．（请你直接写出结果）

Answer 1

【答案】（1）=；（2）=，理由见解析；（3）1或3

【解析】

（1）根据等直角三角形斜边的中线等于斜边的一半解答即可；

（2）连结，证明△BDE≌△ADF即可；

（3）分四种情况求解：①当点E在BA的延长线上，点F在AC的延长线上；②当点E在AB的延长线上，点F在CA的延长线上；③当点E在AB的延长线上，点F在AC的延长线上；④当点E在BA的延长线上，点F在CA的延长线上．

（1）∵，，

∴∠ACD=45°.

∵，点为的中点，

∴∠CAD=45°，

∴∠CAD=∠ACD，

∴AD=CD，

即DE=DF；

（2）连结，

∵，点为的中点，

∴AD==BD．

∵，，点为的中点，

∴∠B=∠C=∠CAD=∠BAD=45°，AD⊥BC，

∴∠ADE+∠BDE=90°．

∵DE⊥DF，

∴∠ADE+∠ADF=90°，

∴∠BDE=∠ADF．

在△BDE和△ADF中，

∵∠B=∠CAD=45°，

AD=BD，

∠BDE=∠ADF，

∴△BDE≌△ADF，

∴DE=DF；

（3）①当点E在BA的延长线上，点F在AC的延长线上，如图1，

由（2）知，AD=CD，∠CAD=∠ACB=45°，

∴∠DAE=∠DCE=135°．

∵DE⊥DF，E⊥DF，

∴∠CDE+∠CDF=90°，∠ADE+∠CDE=90°，

∴∠CDF=∠ADE，

在△ADE和△CDF中，

∵∠DAE=∠DCE，

AD=CD，

∠ADE=∠CDF，

∴△ADE≌△CDF，

∴CF=AE，

∵BE=2，，AB=1，

∴CF=AE=2-1=1；

②当点E在AB的延长线上，点F在CA的延长线上，如图2，

与①同理可证△ADF≌△BDE，

∴AF=BE=2，

∵AC=1，

∴CF=2+1=3；

③当点E在AB的延长线上，点F在AC的延长线上，如图3， 连接AD，并延长交EF与H，

∵∠5=∠1+∠3，∠6=∠2+∠4，

∴∠5+∠6=∠1+∠3+∠2+∠4，

∵∠1+∠2=90°，∠5+∠6=90°，

∴∠3+∠4=0°，不合题意，此种情况不成立；

④当点E在BA的延长线上，点F在CA的延长线上，如图4，

同③的方法可说明此种情况也不成立．

综上可知，CF的长是1或3．