Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，DE⊥AB，垂足为点E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF、AF、AD，AD与CF交于点G．

（1）求证：△ACD≌△CBF；

（2）AD与CF的关系是　　；

（3）求证：△ACF是等腰三角形；

（4）△ACF可能是等边三角形吗？　　（填“可能”或“不可能”）．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AD=CF，且AD⊥CF；（3）见解析；（4）不可能

【解析】

（1）∠CAB=∠CBA=,且BF∥AC，则∠FBE=∠CAB=，则∠DBF=,又DE⊥AB，则∠BDE=，则△BDF为等腰直角三角形，∴DB=BF，又D为BC中点，所以CD=BF．即可证明△ACD≌△CBF．

（2）由△ACD≌△CBF可判断，AD=CF，又∠CAD=∠BCF，则∠CGD=，所以AD⊥CF．

（3）由（1）知AB垂直平分DF，由三线合一知△ADF是等腰三角形，则AD=AF，由（2）知AD=CF，所以AF=CF，即可证明．

（4）在Rt△ACD中易知，AD＞AC，又AD=AF=CF，所以△ACF不可能是等边三角形．

（1）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠CBA=∠CAB=45°，

∵BF∥AC，

∴∠FBE=∠CAB=45°，

∴∠CBF=90°，又DE⊥AB，

∴∠FDB=45°，

∴∠DFB=45°，

∴BD=BF，又D为BC中点，

∴CD=BF，

在△ACD和△CBF中，

，

∴△ACD≌△CBF；

（2）∵△ACD≌△CBF，

∴AD=CF，∠CAD=∠BCF

∴∠CAD+∠CDA=∠BCF+∠CDA=

∴AD⊥CF

故答案为：AD=CF且AD⊥CF；

（3）由（2）知

∵DF⊥AE，DE=EF，

由三线合一可知，△ADF是等腰三角形

∴AD=AF，

∵AD=CF，

∴AF=CF，

∴△ACF是等腰三角形；

（4）在Rt△ACF中，AC＜AD，

由（2）知，AD=AF

∴AC＜AF，

∴△ACF不可能是等边三角形，

故答案为：不可能．