题目内容

如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边AB在x轴上，且OA＞OB，以AB为直径的圆过点C．若点C的坐标为（0，2），AB=5，A，B两点的横坐标x_A，x_B是关于x的方程x²-（m+2）x+n-1=0的两根．
（1）求m，n的值；
（2）若∠ACB平分线所在的直线l交x轴于点D，试求直线l对应的一次函数解析式；
（3）过点D任作一直线l′分别交射线CA，CB（点C除外）于点M，N．则 $数学公式$ 的是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

解：（1）∵以AB为直径的圆过点C，∴∠ACB=90°，而点C的坐标为（0，2），
由CO⊥AB易知△AOC∽△COB，∴CO²=AO•BO，
即：4=AO•（5-AO），解之得：AO=4或AO=1．
∵OA＞OB，∴AO=4，
即x_A=-4，x_B=1．
由根与系数关系有： $\text{[math]}$ ，
解之m=-5，n=-3．

（2）如图，过点D作DE∥BC，交AC于点E，易知DE⊥AC，且∠ECD=∠EDC=45°，
在△ABC中，易得AC= $\text{[math]}$ ，BC= $\text{[math]}$ ，
∵DE∥BC，∴ $\text{[math]}$ ，∵DE=EC，∴ $\text{[math]}$ ，
又△AED∽△ACB，有 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ =2，
∵AB=5，设BD=x，则AD=2x，AB=BD+AD=x+2x=5，解得DB=x= $\text{[math]}$ ，
则OD= $\text{[math]}$ ，即D（- $\text{[math]}$ ，0），
易求得直线l对应的一次函数解析式为：y=3x+2．
解法二：过D作DE⊥AC于E，DF⊥CN于F，
由S_△ACD+S_△BCD=S_△ABC′
求得 $\text{[math]}$ ．
又S_△BCD= $\text{[math]}$ BD•CO= $\text{[math]}$ BC•DF，
求得BD= $\text{[math]}$ ，DO= $\text{[math]}$ ．
即D（- $\text{[math]}$ ，0），
易求得直线l对应的一次函数解析式为：y=3x+2．

（3）过点D作DE⊥AC于E，DF⊥CN于F．
∵CD为∠ACB的平分线，∴DE=DF．
由△MDE∽△MNC，有 $\text{[math]}$ ，
由△DNF∽△MNC，有 $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用直角三角形的性质可知△AOC∽△COB，则CO²=AO•BO，4=AO•（5-AO），解之得：AO=4或AO=1．
即x_A=-4，x_B=1．再利用根与系数的关系代入两根和与两根之积的关系式中求解可知m=-5，n=-3．
（2）过点D作DE∥BC，交AC于点E，易知DE⊥AC，且∠ECD=∠EDC=45°，可证明△AED∽△ACB，利用成比例线段求得OD= $\text{[math]}$ ，即D（- $\text{[math]}$ ，0），利用待定系数法求出直线l对应的一次函数解析式为：y=3x+2．
（3）过点D作DE⊥AC于E，DF⊥CN于F．因为CD为∠ACB的平分线，所以DE=DF．由△MDE∽△MNC，有 $\text{[math]}$ ，由△DNF∽△MNC，有 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．
点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活地运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解．