Question

在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6．动点M、N分别在两腰AB、AC上（M不与A、B重合，N不与A、C重合），且MN∥BC．将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P．
（1）当MN为何值时，点P恰好落在BC上？
（2）当MN=x，△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式．当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）首先连接AP，交MN于O，由MN∥BC．将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P，即可得△AMN∽△ABC，

MN

BC

=

AO

AP

=

1

2

，则可求得当MN为何值时，点P恰好落在BC上；
（2）此题需要分为当AO≤

1

2

AD时与当AO＞

1

2

AD时去分析，首先由△AMN∽△ABC，求得各线段的长，然后求△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积，即可得关于x的二次函数，根据二次函数求最值的方法，即可求得答案．

解答：解：（1）连接AP，交MN于O，
∵将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P，
∴OA=OP，AP⊥MN，AN=PN，AM=PM，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，AO⊥MN，
∴

MN

BC

=

AO

AP

=

1

2

，
∵BC=6，
∴MN=3，
∴当MN=3时，点P恰好落在BC上；

（2）过点A作AD⊥BC于D，交MN于O，
∵MN∥BC，
∴AO⊥MN，
∴△AMN∽△ABC，
∴

MN

BC

=

AO

AD

，
∵AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，BD=

1

2

BC=3，
∴AD=4，
∴

x

6

=

AO

4

，
∴AO=

2

3

x，
∴S_△AMN=

1

2

MN•AO=

1

2

•x•

2

3

x=

1

3

x²，
当AO≤

1

2

AD时，
根据题意得：S_△PMN=S_△AMN，
∴△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为S_△AMN，
∴y=

1

3

x²，
∴当AO=

1

2

AD时，即MN=

1

2

BC=3时，y最大，最大值为3；
当AO＞

1

2

AD时，
连接AP交MN于O，
则AO⊥MN，
∵MN∥BC，
∴AP⊥BC，△AMN∽△ABC，△PEF∽△PMN∽△AMN，
∴

AO

AD

=

MN

BC

，

EF

MN

=

PD

PO

，
即：

AO

4

=

x

6

，

EF

x

=

PD

AO

，
∴AO=

2

3

x，
∴

EF

x

=

2AO-AD

AO

，
∴EF=2x-6，OD=AD-AO=4-

2

3

x，
∴y=S_梯形MNFE=

1

2

（EF+MN）•OD=

1

2

×（2x-6+x）×（4-

2

3

x）=-（x-4）²+4，
∴当x=4时，y有最大值，最大值为4，
综上所述：当x=4时，y的值最大，最大值是4．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的最值问题等知识．解题的关键是方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．