题目内容

对于正数x，规定f（x）=
x2
1+x2
．
（1）计算f（2）=
4
5
4
5
，f（
1
2
）=
1
5
1
5
，f（2）+f（
1
2
）=
1
1
，f（3）+f（
1
3
）=
1
1
，…；
（2）猜想f（x）+f(
1
x
)=
1
1
，请予以证明．
（3）现在你会计算f(
1
2012
)+f(
1
2011
)+f(
1
2010
)+…f（
1
3
）+f（
1
2
）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）+f（2011）+f（2012）的值了吗，写出你的计算过程．
分析：（1）把x的值代入规定的分式计算即可；
（2）由（1）猜想一般结论，把
1
x
代替规定算式中的x，进行分式加减运算即可；
（3）根据（2）得出的规律，分组计算．
解答：解：（1）由规定运算可知，f（2）=
22
1+22
=
4
5
，f（
1
2
）=
(
1
2
)2
1+(
1
2
)2
=
1
5
，
则f（2）+f（
1
2
）=
4
5
+
1
5
=1，f（3）+f（
1
3
）=
32
1+32
+
(
1
3
)2
1+(
1
3
)2
=
9
10
+
1
10
=1，
故答案为：
4
5
，
1
5
，1，1；

（2）f（x）+f（
1
x
）=
x2
1+x2
+
(
1
x
)2
1+(
1
x
)2
=
x2
1+x2
+
1
x2+1
=1，
故答案为：1；

（3）f（
1
2012
）+f（
1
2011
）+f（
1
2010
）+…+f（
1
3
）+f（
1
2
）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）+f（2011）+f（2012）
=f（1）+[f（
1
2
）+f（2）]+[f（
1
3
）+f（3）+]+…+[f（
1
2012
）+f（2012）]
=
1
2
+1+1+…+1=2011
1
2
．
点评：本题考查了分式的加减法．分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．
练习册系列答案
相关题目
对于正数x，规定f（x）=
x
1+x
，计算f（
1
100
）+f（
1
99
）+f（
1
98
）+…+f（
1
3
）+f（
1
2
）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（98）+f（99）+f（100）=
 
．
对于正数x，规定f(x)=
x
1+x
，例如f（3）=
3
1+3
=
3
4
，f(
1
3
)=
1
3
1+
1
3
=
1
4
，计算：f(
1
2011
)+f(
1
2010
)+f(
1
2009
)+…+f(
1
3
)+f(
1
2
)+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2009)+f（2010）+f（2011）=
 
．
精英家教网（1）对于正数x，规定f（x）=
x
1+x
，例如f（3）=
3
1+3
=
3
4
，f（
1
3
）=
1
3
1+
1
3
=
1
4

计算：f（
1
2009
)+f（
1
2008
）+f（
1
2007
）+…+f（
1
3
）+f（
1
2
）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2007）+f（2008）+f（2009）
（2）已知：如图，O为平面直角坐标系的原点，半径为1的⊙B经过点O，且与x，y轴分交于点A，C，点A的坐标为(-
3
，0)，AC的延长线与⊙B的切线OD交于点D．求∠CAO的度数．
（2009•九龙坡区一模）对于正数x，规定f（x）=
x
1+x
，比如 f（3）=
3
1+3
，f(
1
2
)=
1
2
1+
1
2
=
1
3
，则计算f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f(
1
100
)+f(
1
99
)+…+f(
1
3
)+f(
1
2
)+f（1）=
100
100
．
对于正数x，规定f(x)=
x
1+x
，例如：f(3)=
3
1+3
=
3
4
，f(
1
3
)=
1
3
1+
1
3
=
1
4
．
求f(
1
2006
)+f(
1
2005
)+…+f(
1
3
)+f(
1
2
)+f(1)+f(2)+…+f(2005)+f(2006)的值．

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