Question

点D是△ABC内一点，AD平分∠ABC，延长AD交△ABC的外接圆于点E，BE=ED．
（1）点D是否是△ABC的内心？说明理由；
（2）点E是否是△BDC的外心？说明理由．

Answer 1

解：（1）点D是△ABC的内心．
理由是：连接CE，
∵AD平分∠ABC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴弧BE=弧CE，
∴BE=EC，∠EBC=∠CAE=∠BAE，
∵BD=BE，
∴∠EDB=∠DBE，
即∠BAE+∠ABD=∠CBD+∠EBC，
∴∠ABD=∠CBD，
即D是∠ABC和∠BAC的角平分线的交点，
∴点D是△ABC的内心．

（2）点E是△BDC的外心．
理由是：由（1）知：BE=CE=ED，
∴点E是△BDC的外心．
分析：（1）根据角平分线性质求出BE=CE，根据三角形外角性质和等腰三角形性质推出∠CBD=∠ABD，即可得到答案；
（2）根据BE=CE=DE即可推出答案．
点评：本题主要考查对等腰三角形的性质和判定，三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键．