题目内容
如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连接OB、AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连接CF．
1.当∠AOB=30°时，求弧AB的长度；
2.当DE=8时，求线段EF的长；
3.在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．
1.连接BC，
∵A（10，0），∴OA=10，CA=5，
∵∠AOB=30°，
∴∠ACB=2∠AOB=60°，
∴弧AB的长=
；（4分）
2.①若D在第一象限，连接OD，
∵OA是⊙C直径，
∴∠OBA=90°，
又∵AB=BD，
∴OB是AD的垂直平分线，
∴OD=OA=10，
在Rt△ODE中，
OE=
=6，
∴AE=AO-OE=10-6=4，
由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA，
得△OEF∽△DEA，
∴
，即
，
∴EF=3；（4分）
②若D在第二象限，
连接OD，∵OA是⊙C直径，
∴∠OBA=90°，
又∵AB=BD，
∴OB是AD的垂直平分线，
∴OD=OA=10，
在Rt△ODE中，OE=
6，
∴AE=AO+OE=10+6=16，
由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA，
得△OEF∽△DEA，
∴，即
，
∴EF=12；
∴EF=3或12；
3.设OE=x，①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，
当∠ECF=∠BOA时，此时△OCF为等腰三角形，点E为OC中点，即OE=
，
∴E1（，0）；
当∠ECF=∠OAB时，有CE=5-x，AE=10-x，
∴CF∥AB，有CF=
AB，
∵△ECF∽△EAD，
∴
，即
，解得：x=
，
∴E2（，0）；
②当交点E在点C的右侧时，∵∠ECF＞∠BOA，
∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，
连接BE，∵BE为Rt△ADE斜边上的中线，
∴BE=AB=BD，
∴∠BEA=∠BAO，
∴∠BEA=∠ECF，
∴CF∥BE，∴
，
∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=90°，
∴△CEF∽△AED，
∴
，
而AD=2BE，
∴
，
即
，解得x1=
，x2=
＜0（舍去），
∴E3（，0）；
③当交点E在点O的左侧时，
∵∠BOA=∠EOF＞∠ECF．
∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO
连接BE，得BE=AD=AB，∠BEA=∠BAO
∴∠ECF=∠BEA，
∴CF∥BE，
∴
，
又∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=90°，
∴△CEF∽△AED，∴，
而AD=2BE，∴，
∴
，解得x1=
（舍去），x2=
＜0，
∵点E在x轴负半轴上，∴E4（，0），
综上所述：存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，
此时点E坐标为：E1（，0）、E2（，0）、E3（，0）、E4（，0）．（4分）
解析:（1）连接BC，由已知得∠ACB=2∠AOB=60°，AC= AO=5，根据弧长公式求解；
（2）连接OD，由垂直平分线的性质得OD=OA=10，又DE=8，在Rt△ODE中，由勾股定理求OE，依题意证明△OEF∽△DEA，利用相似比求EF；
（3）存在．当以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似时，分为①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，②当交点E在点C的右侧时，要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，③当交点E在点O的左侧时，要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，三种情况，分别求E点坐标
如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的一个动点，但是点P不与点0、点A重合．连接CP，D点是线段AB上一点，连接PD．
（2012•渝北区一模）如图，在平面直角坐标xoy中，以坐标原点O为圆心，3为半径画圆，从此圆内（包括边界）的所有整数点（横、纵坐标均为整数）中任意选取一个点，其横、纵坐标之和为0的概率是
如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为（4，0），D点坐标为（0，3），则AC长为
如图，在平面直角坐标xOy中，已知点A（-5，0），P是反比例函数
∠COA=45°，动点P从点O出发，在梯形OABC的边上运动，路径为O→A→B→C，到达点C时停止．作直线CP．