Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知：函数．

（1）当时，

①求随增大而增大时，的取值范围；

②当时，求的取值范围；

③当时，设的最大值与最小值之差为，当时，求的值．

（2）若，连结.当此函数的图象与线段只有两个公共点时，直接写出的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①或；②；③或；（2）或或．

【解析】

（1）①利用函数图像，直接作答即可；

②观察函数图像直接作答即可；

③分、、、四种情况分类讨论即可；

（2）利用两个函数的对称轴都是直线，分类讨论所处的位置，即可得出答案．

（1）①或.

当时，函数变为 ，

函数图像如图所示：

函数的对称轴是直线，

所以通过观察图像可以得到当随增大而增大时，的取值范围是：或；

②；

通过观察图像可以得到：当时，；

③当，即时，

，

当时，由图象可知

当时，

由，

得，

当时，

舍去.

综上所述:或；

或或，

∵

∴的对称轴为直线：，

的对称轴为直线：，

①由（1）可知：当时，函数与AB有两个交点，一个为（0,2），一个为（），满足条件；

②当时，函数变为：，此时只有一个交点，不合题意；

③当时，函数变为：，此时只有一个交点，不合题意；

④当时，此时的顶点坐标为，

∵，

∴与AB无交点；

对于函数一直小于0，因此与AB无交点；

⑤当时，

对于函数来说，当时，有最小值此时，因此函数与AB最多有一个交点，

对于函数，当时，有最大值，为，与AB无交点；

⑥当时，

对于函数来说，，因此与AB必有一个交点，

只须保证：与AB有一个交点即可，

当时，当时，有最大值为，根据对称性可知：此时与AB有两个交点，

∴当时，有三个交点，不合题意；

当时，

函数变为：，此时与AB共有两个交点；

当时：与AB有一个交点，

∴此时函数与AB有两个交点；

⑦当时，

对于函数：，与AB无交点，

当函数过时，

得：，解得：，

∵，

∴，此时与AB有两个交点，

∴当时，与AB有两个交点；

综上所述：当或或时，与AB只有两个交点．