Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且，点是第三象限内抛物线上的一动点．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）若，求点的坐标；

（3）连接，求面积的最大值及此时点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（，）；（3）面积的最大值是8；点的坐标为（，）．

【解析】

（1）由二次函数的性质，求出点C的坐标，然后得到点A、点B的坐标，再求出解析式即可；

（2）由，则点P的纵坐标为，代入解析式，即可求出点P的坐标；

（3）先求出直线AC的解析式，过点P作PD∥y轴，交AC于点D，则，设点P为（，），则点D为（，），求出PD的长度，利用二次函数的性质，即可得到面积的最大值，再求出点P的坐标即可．

解：（1）在抛物线中，

令，则，

∴点C的坐标为（0，），

∴OC=2，

∵，

∴，，

∴点A为（，0），点B为（，0），

则把点A、B代入解析式，得

，解得：，

∴；

（2）由题意，∵，点C为（0，），

∴点P的纵坐标为，

令，则，

解得：，，

∴点P的坐标为（，）；

（3）设直线AC的解析式为，则

把点A、C代入，得

，解得：，

∴直线AC的解析式为；

过点P作PD∥y轴，交AC于点D，如图：

设点P 为（，），则点D为（，），

∴，

∵OA=4，

∴，

∴，

∴当时，取最大值8；

∴，

∴点P的坐标为（，）．