Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线长为，周长为．若反比例函数的图象经过矩形顶点．

求反比例函数解析式；若点和在反比例函数的图象上，试比较与的大小；

若一次函数的图象过点并与轴交于点，求出一次函数解析式，并直接写出成立时，对应的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) 反比例函数为：，，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，．(2) 一次函数的解析式为：；或．

【解析】

（1）根据已知条件求出矩形的边长，得A点坐标，再用待定系数法求反比例函数解析式，根据反比例函数的性质比较y1与y2的大小；
（2）用待定系数求得一次函数的解析式，再求一次函数图象与反比例函数图象的交点坐标便可根据函数图象的位置关系求得不等式的解集．

解：根据题意得：，

，

，

，

把代入反比例函数中，得，

反比例函数为：，

点和在反比例函数的图象上，

，且，

，且，

当时，，则点和分别在第一象限和第三象限的反比例函数的图象上，于是有；

当时，，若，即时，，若，即时，，若，即时，；

当时，则点和分别在第三象限和第一象限的反比例函数的图象上，于是有；

综上，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，．

一次函数的图象过点并与轴交于点，

解得，，

一次函数的解析式为：；

解方程组得，

一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点和，

当一次函数的图象在反比例函数的图象下方时，或，

成立时，对应的取值范围：或．