Question

（1）如图，在?ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长，交BA的延长线于点F．求证：FA=AB．

（2）如图，在⊙O中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=2

3

cm，①求∠BAC的度数； ②求⊙O的周长．

Answer 1

分析：（1）先根据平行四边形的性质得出AE∥BC，AE=BC，再根据E是AD的中点可知AE=

1

2

AD可判断出AE是△ABC的中位线，利用中位线定理即可得出结论；
（2）①根据圆周角定理可直接求解；
②过O作OE⊥AC，连接OA、OC，根据圆周角定理可判断出△ABC是等边三角形，求出∠AOC的度数，由垂径定理可知AE的长，再根据三角函数的定义可求出OA的长，进而可求出⊙O的周长．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥BC，AD=BC，
∵E是AD的中点，
∴AE=

1

2

AD=

1

2

BC，
∴AE是△ABC的中位线，
∴FA=AB；

（2）①∵∠ACB=∠BDC=60°，∠BAC=∠BDC，
∴∠BDC=60°；
②过O作OE⊥AC，连接OA、OC，
∵∠ACB=∠BDC=∠BAC=60°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠AOC=120°，
∴∠AOE=60°，
∵OE⊥AC，AC=2

3

cm，
∴AE=

3

cm，
∴OA=

AE

sin60°

=

3

3 2

=2，
∴⊙O的周长=2πOA=2π×2=4π．
故答案为：60°，4π．

点评：本题考查的是圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义，根据题意作出辅助线构造出直角三角形是解答此题的关键．