Question

如图，已知长方形ABCD中，AD=6cm，AB=4cm，点E为AD的中点．若点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BC上由点B向点C运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△AEP与△BPQ是否全等？请说明理由，并判断此时线段PE和线段PQ的位置关系；
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，运动时间为t秒，设△PEQ的面积为Scm²，请用t的代数式表示S；
（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△AEP与△BPQ全等？

Answer 1

解：（1）∵长方形ABCD，
∴∠A=∠B=90°，
∵点E为AD的中点，AD=6cm，
∴AE=3cm，
又∵P和Q的速度相等可得出AP=BQ=1cm，BP=3，
∴AE=BP，
在△AEP和△BQP中，，
∴△AEP≌△BPQ，
∴∠AEP=∠BPQ，
又∵∠AEP+∠APE=90°，
故可得出∠BPQ+∠APE=90°，
即∠EPQ=90°，
即EP⊥PQ．
（2）连接QE，
由题意得：AP=BQ=t，BP=4﹣t，CQ=6﹣t，
S_PEQ=S_ABCD﹣S_BPQ﹣S_EDCQ﹣S_APE
=AD·AB﹣AE·AP﹣BP·BQ﹣（DE+CQ）·CD
=24﹣×3t﹣t（4﹣t）﹣×4（3+6﹣t）=﹣t+6．
（3）设点Q的运动速度为xcm/s，经过y秒后，△AEP≌△BQP，
则AP=BP，AE=BQ，
∴，解得：，
即点Q的运动速度为cm/s时能使两三角形全等．