Question

如图，已知BC是⊙O的直径，P是⊙O上一点，A是的中点，AD⊥BC于点D，BP与AD相交于点E，若∠ACB=36°，BC=10．
（1）求的长；
（2）求证：AE=BE．

Answer 1

（1）解：连接OA，∵∠ACB=36°，∴∠AOB=72°．
又∵OB=BC=5，
∴的长为：．

（2）证明：连接AB，
∵点A是的中点，
∴．
∴∠C=∠ABP．
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，即∠BAD+∠CAD=90°，
又∵AD⊥BC，
∴∠C+∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠C，
∴∠ABP=∠BAD，
∴AE=BE．
分析：（1）要求的长，就要连接OA，求出圆心角，利用弧长公式计算；
（2）连接AB，点A是的中点，所以所以∠C=∠ABP．再利用等弧所对的圆周角相等可得∠ABP=∠BAD所以AE=BE．
点评：本题主要考查了弧长公式和等弧所对的圆周角相等的性质去证明．