Question

6．已知正方形ABCD的边长是4，对角线交于点O，F为BC上一点，连接OF、AF，若OF=$\sqrt{5}$，则线段AF的长度的是$\sqrt{17}$或5．

Answer 1

分析 过点O作BC的垂线，垂足为E．根据正方形的性质得出OA=OC，∠ABC=90°，又OE∥AB，得出BE=EC=$\frac{1}{2}$BC=2，OE=$\frac{1}{2}$AB=2．在Rt△OEF中利用勾股定理求出EF=1．再分两种情况讨论：①F在线段BE上；②F在线段CE上，分别求出BF的长，由勾股定理求出AF的长．

解答 解：过点O作BC的垂线，垂足为E．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OC，∠ABC=90°，
∵OE⊥BC，
∴OE∥AB，
∴BE=EC=$\frac{1}{2}$BC=2，OE=$\frac{1}{2}$AB=2．
∵在Rt△OEF中，∠OEB=90°，OF=$\sqrt{5}$，OE=2，
∴EF=$\sqrt{O{F}^{2}-O{E}^{2}}$=1．
分两种情况讨论：
①F在线段BE上时，如图1，
此时BF=BE-EF=2-1=1，
在Rt△ABF中，∵AB=4，BF=1，
∴AF=$\sqrt{{AB}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{17}$；
②F在线段CE上时，如图2，
此时BF=BE+EF=2+1=3，
在Rt△ABF中，∵AB=4，BF=3，
∴AF=$\sqrt{{AB}^{2}+B{F}^{2}}$=5；
故答案为：$\sqrt{17}$或5．

点评 本题考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质和勾股定理，利用数形结合与分类讨论是解题的关键．